Вопрос 22 Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается как или . Таким образом:

Вопрос 23 Геометрический смысл дифференциала

 

На графике функции возьмем произвольную точку и дадим аргументу приращение . При этом функция получит приращение (на рисунке отрезок ).

Проведем касательную к кривой в точке и обозначим угол ее наклона к оси через , тогда . Из треугольника находим , т.е. .

Таким образом, дифференциал функции численно равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда аргумент получает приращение .

Вопрос 24 Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Приращение функции представимо в виде:

где функция является б.м. функцией при стремлении аргумента к нулю. Так как , то В силу того, что второе слагаемое является бесконечно малым, то им можно пренебречь, а поэтому А так как в нахождении дифференциал значительно проще, чем приращение функции, то данная формула активно используется на практике.Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула:

Вопрос 25 Функция  называется возрастающей (убывающей) на некотором интервале , если большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее (меньшее) значение функции. Т. е.  возрастает в интервале , если для любых значений , , удовлетворяющих условию , имеет место неравенство , и убывает, если для любых значений , , удовлетворяющих указанному условию, имеет место неравенство .

Интервалы, в которых функция возрастает или убывает, называются интервалами монотонности функции.

Рассмотрим применение производной для нахождения интервалов монотонности функций.Исследование  функции на возрастание и убывание (монотонность).

Определение. Точка называется критической (стационарной), если она является внутренней точкой области определения и производная в ней равна нулю или не существует.

Признаки возрастания и убывания функции:

Если производная данной функции положительна для всех значений х в интервале (а; в),   т.е.f'(x) > 0,  то функция в этом интервале возрастает. Если производная данной функции отрицательна для всех значений х в интервале(а; в), т.е.f'(x) < 0, то функция в этом интервале убывает.

Вопрос 26 Применение форм к исследованию функций на экстремумРассмотрим скалярную (числовую) функцию векторного аргумента , которая каждому действительному значению векторного аргумента (т.е. каждому действительному числовому столбцу размеров ) из области определения функции , ставит в соответствие действительное число (значение скалярной функции). В этом разделе значение векторного аргумента будем называть также точкой в области определения функции.Напомним необходимые и достаточные условия локального безусловного экстремума функции. Точка называется точкой локального минимума (максимума) функции , если существует такая окрестность точки , целиком лежащая в области определения функции, что для любой точки из этой окрестности выполняется условие (соответственно ). Точки минимума или максимума называются точками экстремума.Необходимые условия первого порядка. Если является точкой экстремума дифференцируемой функции , то ее первый дифференциал, вычисленный в этой точке , есть равная нулю линейная форма

Точки, удовлетворяющие условию (6.23), называются стационарными точками дифференцируемой функции .