Обзор и анализ методов построения математических моделей, применяемых для получения описания заданной системы.

Для анализа заданного объекта регенерация ДЭГ имеется большое количество методов. Все методы можно разделить на три группы: включающие:

1. эксперимент на реальном объекте

2. эксперимент на модели той же физической модели

3. применение метода аналогий

По точности решения можно выделить точные и приближенные методы. Рассмотрим некоторые методы:

Методы приближения функций основаны на разложении функции в ряд, определении численными методами величины интегралов или подбора аналитических выражений для описания экспериментальных зависимостей и решают задачи приближения одних функций другими, которые для нас более «удобны» по каким- либо критериям. Другими словами, при решении всех этих задач мы строим модели исходных зависимостей, которые сохраняют их основные свойства и в то же время они наиболее удобны для анализа и последующего применения.

Номографический метод расчета основан на графическом представлении (преимущественно на плоскости) функциональных зависимостей от нескольких переменных (формул, уравнений, систем уравнений). Получающиеся при этом графические представления (геометрические модели) называются номограммами. В отличие от других геометрических моделей, номограмма является счетным прибором, на котором вычислительная операция заменяется выполнением простых геометрических операций (наложение линейки, проведение окружности, измерение отрезка и т.п.). Кроме этого, номограмма может быть использована для анализа номографированной зависимости, выявления взаимного влияния переменных, изучения экстремальных свойств и т.п.

Эмпирические методы приспособлены только для автоматизации и оптимизации конкретных действующих установок. Они позволяют осуществить только условную оптимизацию, определяемую конструкцией установки. При этом они не дают возможность оценить, насколько далек найденный оптимум от потенциально возможного для этого процесса. Аналитические методы легко решают последнюю задачу путем сравнения потенциальных возможностей процесса с данными его реальной эксплуатации.

Аналитические методы используются на стадии проектирования технологического процесса для его расчета, оценки допустимой области изменения технологических параметров, разработки структурных схем многосвязного регулирования, а также для его конструктивной реализации.

Построение математической модели

Установка регенерации диэтиленгликоля включает в себя три основных аппарата: тарельчатую колонну 1, имеющую N тарелок; испаритель 2, в котором испаряется часть жидкости за счет подвода тепла, и холодильник – конденсатор 3, в котором конденсируются пары жидкости, выходящей из колонны (часть из них подаются на острое орошение на верхнюю тарелку колонны).

Н

Рис. 2 Схематическое изображение тарельчатой ректификационнойколонны

а верхнюю тарелку колонны подается флегма в количестве F моль/с. На тарелку f подается насыщенный раствор ДЭГ (НДЭГ) в количестве L моль/с с содержанием воды X_i моль H₂O/моль ДЭГ. Выведем исходные дифференциальные уравнения процесса регенерации, используя материальный баланс низкокипящего компонента. Примем следующие допущения:

1. Колонна имеет идеальные теоретические тарелки, следовательно, пары, покидающие любую тарелку, находятся в состоянии равновесия с жидкостью; КПД тарелок равен 100%;

2. Все тарелки имею одинаковую (неизменную во времени) задержку жидкости;

3. Задержкой паров между тарелками пренебрегаем как величиной высшего порядка малости;

4. В рассматриваемом полном конденсаторе не происходит дополнительного разделения; задержка жидкости и паров в конденсаторе принимается несущественной;

5. Скорости потоков жидкости и пара постоянны в нижней и верхней частях колонны, таким образом, подразумевается, что колонна работает адиабатически, компоненты смеси имеют одинаковую теплоту испарения и не дают теплового эффекта при смешивании;

6. Гидравлическое запаздывание потоков жидкости и паров не рассматривается.

7. Количество пара и жидкости в потоках не изменяется по высоте колонны, что соответствует разделению компонентов, имеющих близкие температуры кипения и теплоты испарения.

8. Жидкость на тарелках находится при температуре кипения, а пар – при температуре конденсации. Питание в колонну также подается при температуре кипения.

Д ля математического описания переходного процесса ректификационную колонну разделим на элементарные звенья с одной степенью свободы. Каждое звено эквивалентно теоретической тарелке колонны. Жидкость концентрируется на теоретических тарелках и в низу колонны. Колонна для принятых допущений представлена на рисунке 3.Уравнения для материального баланса верхней n-й тарелки следующие. За промежуток Δt тарелка получит молей низкокипящего компонента

и потеряет молей.

где V – скорость потока паров (моль/с);

L – скорость потока жидкости (моль/с);

F–скорость потока флегмы (моль/с);

Y– концентрация низкокипящего компонента в парах в % мол.;

X– концентрация низкокипящего компонента в жидкости в % мол.

В течение переходного периода происходит накопление или исчерпывание низкокипящего компонента на n-й тарелке.

У меньшая до бесконечности промежуток времени Δt, перейдем от уравнения

в конечных разностях (1)

(1)

(H – задержка жидкости на тарелке в моль)

к дифференциальному уравнению (2):

(2)

Аналогично напишем материальный баланс низкокипящего компонента для промежуточной k-й тарелки:

(3)

Д

Рис. 3 Схема материальных потоков в ректификационной колонне

ля тарелки питания f материальный баланс выражается уравнением

(4)

где L – скорость потока смеси (НДЭГ), подаваемой на тарелку питания (моль/с)

X_D – концентрация низкокипящего компонента в питающей смеси в %мол.

Материальный баланс низкокипящего компонента в нижней части колонны

(5)

(5)

(5)

где S – количество задержанной жидкости в нижней части колонны в моль;

W – скорость потока остаточного продукта ( моль/с);

X_W– концентрация низкокипящего компонента в остаточном продукте в % мол.

Согласно допущению 5 можно принять, что

Т огда система дифференциальных уравнений примет вид:

(6)

П риведем к стандартному виду полученную систему дифференциальных уравнений:

;

(7)

Рассмотрим ректификационную колонну, состоящую из:

1 – й тарелки питания;

2 – х тарелок отгонной секции (низ колонны);

4 – х тарелок укрепляющей (отпарной) секции (выше тарелки питания);

Т огда система уравнений (7) примет вид:

;

(8)

Рис. 4 Схема материальных потоков для семи тарельчатой ректификационной колонны.

Построение динамической характеристике сводиться к решению системы уравнений (8) . Каждое уравнение содержит два неизвестных X и Y, решение уравнений возможно только при известной аналитической зависимости между ними.

По принятому допущению пары, покидающие тарелку, находятся в состоянии равновесия с жидкостью, стекающей с тарелки. При этом условии имеется соотношение

(9)

где α – относительная летучесть легкого компонента абсорбента (воды) к тяжелому (ДЭГ). Для условий, рассматриваемых в данной работе α=1,2.

Уравнение (9) нелинейно, поэтому решить систему уравнений классическими методами трудно, если не невозможно, поэтому, с учетом порядка Y_k, зависимость между концентрациями НКК в парах и жидкости можно считать линейной: .

П одставляем эту зависимость в систему (8) и получаем:

,

(10)

П реобразуем:

(11)

Так решить эту систему классическими методами трудно, как указывалось раннее, то будем решать данную систему уравнений с помощью преобразования Лапласа, используя значения технологических параметров из приложения.

(12)

Получаем следующие решения:

Тогда передаточные функции для каждой из тарелок будут иметь вид:

На основании полученных передаточных функций и анализа технологического режима проведенного ранее получим следующую структурную схему, представленную на рис. 5