Теория Игр

Классификация игр

Классификацию игр можно проводить:

1. По количеству игроков. Различают игры 2-х и n игроков. Первый наиболее изученный. Для 3-х и более возникает принципиальные трудности, связанные с техническими возможностями получения решения.

2. По количеству стратегий. Игры делятся на конечные и бесконечные. Если в игре все игроки имеют конечное число возможных стратегий, то она называется конечной. Если хотя бы один из игроков имеет бесконечное количество стратегий, то игра называется бесконечной.

3. По характеру взаимодействия игры делятся на:

   1. бескоалиционные (игроки не имеют права вступать в соглашение), образовывать коалиции.

   2. Коалиционные (кооперативные) – коалиции возможны, а в кооперативных играх наперед заданы.

4. По характеру выигрышей:

   1. Игры с нулевой суммой (общий капитал всех игроков не меняется), а перераспределяется между игроками. Сумма выигрышей всех игроков равна нулю.

   2. Игры с не нулевой суммой.

5. По виду функцией выигрыша. Игры делятся на:

   1. Матричные – конечная игра 2-х игроков с нулевой суммой, в которой задается выигрыш игрока 1 в виде матрицы (строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока 1, а столбец номер применяемой стратегии игрока 2. На пересечении находится выигрыш игрока 1 соответствующий применяемой стратегии). Для матричных игр доказано, что любая из них имеет решение, и оно может быть найдено путем сведения игры в ЗЛП.

   2. Биматричная игра – конечная игра 2-х игроков с не нулевой суммой. Выигрыш каждого игрока задается отдельной матрицей. Также разрешимы, но сложнее чем обычные матрицы.

   3. Непрерывной считается игра, у которой функция выигрышей каждого игрока является непрерывной в зависимости от стратегий. Задача имеет решение, но практических методов их нахождения не разработано.

   4. Если функция выигрышей является выпуклой, то и сама игра называется выпуклой. Разработаны приемлемые методы решения. Задача решается сравнительно легко.

Матричные игры

Решение игры в чистых стратегиях.

Матричная игра 2-х игроков с нулевой суммой может рассматриваться как следующая игра 2-х игроков:

1. Первый игрок имеет m стратегий (i=1..m). Второй имеет n стратегий (j=1..n). Каждой паре стратегий (I,j) поставлено в соответствии число a(I,j), выражающая выигрыш игрока 1 за счет игрока 2. Если первый игрок примет свою i-стратегию, а второй свою j-стратегию. Каждый игрок делает один ход: первый игрок выбирает i-стратегию, а второй j-стратегию. После чего игрок 1 получает выигрыш a(I,j) за счет игрока 2 (если a(I,j) меньше нуля, то 1 игрок платит второму |a(I,j)|). На этом игра заканчивается. Каждая стратегия игрока называется чистой стратегией. Игра задается в виде матрицы.

Главное в исследовании игр называется оптимальных стратегий игроков. Очевидно, что для первого игрока оптимальной будет стратегия, которая обеспечивает ему наибольший гарантированный выигрыш при всех возможных стратегиях другого игрока. Для этого игрок 1 исследует матрицу выигрышей А, так: для каждого значения I определяется минимальное значение выигрыша в зависимости от применяемых стратегий игрока 2. Min a(I,j) j (i=1..m). Затем их них выбирается стратегия i(0) которая, доставляет максимальный выигрыш max I min a(I,j) = a(i=1..m).

Число a называется нижний чистой ценой игры и показывает, какой минимальный выигрыш может гарантировать себе игрок 1 применяя чистые стратегии при всевозможных действиях игрока 2.

Игрок 2 при оптимальном поведении должен стремиться по возможности максимально уменьшить выигрыш игрока 1. Поэтому для игрока 2 отыскивается max i a(I,j). min j max I a(I,j)= a (верхняя).

A (верхняя) называется чистой верхней ценой игры и определяется по формуле 2, и показывает, какой максимальный выигрыш за счет своих стратегий может гарантировать игрок 1.

Если в игре a=a(верхняя) то, говорят что игра имеет седловую точку чистых стратегиях и чистую цену игры. Седловая точка это пара чистых стратегий i(0) j(0), соответственно игрока 1 и 2, в которой достигается равенство a=a(верхняя). Это понятие имеет следующий смысл: если один игрок придерживается стратегии соответствующей седловой точки, то другому игроку выгоднее придерживаться стратегии также соответствующей седловой точки, то есть a(I,0)<=a(I,0,j,0)<=a(0,j) Где i-j чистые стратегии игроков, а (I,0) (j,0) стратегии образующие седловую точку. Пара чистых стратегий (I,0) и (j,0) и цена игры a(I,0,j,0) называется решением игры, (I,0) и (j,0) оптимальными чистыми стратегиями игроков.

Задание №1

4	9	4	1	4	1
2	7	5	1	5	1
3	8	5	9	6	3
4	9	5	9	6	4	3

Нет решения в чистых стратегиях

10	6	8	6
3	5	7	3
6	8	5	5
7	9	8	7
8	9	10	8
10	9	10	9	8

Нет решения в чистых стратегиях

4	7	7	9	6	4
5	1	6	6	7	1
2	8	9	6	7	2
5	8	9	9	7	5	4

Нет решения в чистых стратегиях

Алгоритм решения матричной игры

1. На основании анализа платежной матрицы определить существуют ли доминирующие стратегии, и исключить их.

2. Найти верхнюю и нижнюю цену игры и определить, имеет ли данная игра седловую точку.

3. Если седловая точка существует: Оптимальная стратегия игроков и решения игры определяется чистыми стратегиями соответствующими седловой точки.

4. Цена игры равна значению верхней и нижней цен игры.

5. Если нет седловой точки: решение следует искать в смешанных стратегиях.

6. Для определения оптимальных стратегий можно использовать симплекс-метод.