Транспортная задача линейного программирования (тз)

Транспортная задача линейного программирования получила широкое распространение в теоретических разработках и практических применениях на транспорте и промышленности. Особое значение она имеет в деле рационализации поставок важнейших видов промышленной и сельскохозяйственной продукции, а также оптимального планирования груза потоков и работы различных видов транспорта.

Постановка задачи

Некоторый однородный продукт, сосредоточенный у m поставщиков Ai, в количестве ai (i=1,m) единиц соответственно. Необходимо доставить его n потребителям Bj в количестве bj (j=1,n) единиц. Известно стоимость C(I,j) перевозки единицы груза от I поставщика J потребителю. Необходимо составить план перевозок позволяющие вывести все грузы полностью удовлетворив потребности и имеющие минимальную стоимость. Обозначим через x(I,j) количество единиц груза запланированных к перевозке от I поставщика j потребителю. Тогда условие можно записать в виде таблицы, которую называют матрицей планирования.

Поставщики	Потребители					Запасы
	Bi	…	Bj	…	Bn
A1	C11		C1j		C1n	a1
	X11		X1j		X1n
…						…
Ai	Ci1		cij		cin	ai
	Xi1		xij		xin
…						…
Am	Cm1		cmi		cmn	am
	Xm1		xmi		xmn
Потребности	bi	…	bj	…	bn

Составим математическую модель задачи: т.к. объем перевозки от I поставщика j потребителю запланировано в объеме x(I,j) единиц, то стоимость перевозки составляет Z=mEi*nEj*c(I,j)*x(I,j)min. Ограничения следуют из условия задачи:

1. Все грузы должны быть вывезены – mEj=1*x(I,j)=ai(i=1,n) (сумма по строке таблицы).

2. Все потребности должны быть удовлетворены – nEi=1*x(I,j)=bj(j=1,m) (сумма по столбцу).

3. X(I,j)>=0 (i=1,n) (j=1,m).

Предполагается, что суммарные запасы равны суммарным потребностям.

4. nEi=1*ai=nEj=1*bj – такая модель называется закрытой.

Теорема

Любая транспортная задача, у которой суммарный объем запасов совпадает с суммарным объемом потребности, имеет решение.

Построение начального опорного плана

Из ограничений a и b можно определить общее количество неизвестных n*m и n+m уравнений связанных соотношением (4), то есть количество независимых переменных с не нулевыми значениями n+m-1. Клетки с не нулевыми значениями x(I,j) называют занятыми, а остальными не занятыми. То есть опорный план ТЗ содержит максимально m+n-1 занятых клеток. План транспортной задачи является опорным, если он не содержит циклов. Циклом называется набор клеток построенных строка-столбец, строка-столбец и последняя клетка совпадает с первой.

1. Метод северо-западного угла.

Поставщики	Потребители					Запасы
	B1	B2	B3	B4	B5
A1	10	7	4	1	4	100
	100	-	-	-	-
A2	2	7	10	6	11	250
	100	150	-	-	-
A3	8	3	3	2	2	200
	-	50	100	50	-
A4	11	8	2	10	13	300
	-	-	-	50	250
Потребности	200	200	100	100	250	850	850

Z=100*10+2*100+150*7+5*50+3*100+2*50+16*50+13*250=6950

Алгоритм

1. В ячейку первой строки первого столбца заносим максимально возможный объем перевозки (min из a1 и b1). Затем, если выбраны все запасы переходим в ячейку a2-b1 если удовлетворены все потребности в ячейку a1-b2.

2. Вычеркиваем из рассмотрения удовлетворенные потребности и выбранные запасы.

3. Алгоритм повторяем.

2. Метод минимальной стоимости.

Поставщики	Потребители					Запасы
	B1	B2	B3	B4	B5
A1	10	7	4	1	4	100
	-	-	-	100	-
A2	2	7	10	6	11	250
	200	50	-	-	-
A3	8	3	3	2	2	200
	-	-	-	-	200
A4	11	8	2	10	13	300
	-	150	100	-	50
Потребности	200	200	100	100	250	850	850

Z=1*100+200*2+7*50+200*2+8*150+12*100+13*50=4300

Суть метода: Из всей таблицы стоимости выбирают клетку с наименьшей, и в нее размещают минимум из ai и bj. Исключат из рассмотрения либо строку, либо столбец. В оставшейся части опять выбирают минимальную стоимость и так до полного распределения.

3. Метод двойного предпочтения

Если таблица стоимостей достаточно большая, то перебор всех элементов затруднен. В этом случае используют метод двойного предпочтения: в каждом столбце отмечают клетку с наименьшей стоимостью, затем тоже самое делают в каждой строке. В результате некоторые клетки могут иметь 2 отметки. Эти клетки заполняются в первую очередь, затем клетки с одной отметкой, а потом по методу минимальной стоимости.

Алгоритм

Метод потенциала. Нахождение оптимального плана ТЗ.

Алгоритм

1. Проверка оптимальности плана

   1. Один из потенциалов задается произвольно, например u1=0.

   2. Рассматривается система линейных уравнений вида ui+vj=c(I,j) для занятых клеток проверяется система уравнений и находится потенциалы ui и vj для всех складов и пунктов потребления.

   3. Для всех остальных клеток проверяется условие ui+vj<=c(I,j). Если это условие выполняется для всех не занятых клеток, план является оптимальным. В противном случае переходим к шагу 2.

2. Алгоритм улучшения опорного плана

   1. Найти клетку, для которой ui+vj-c(I,j)max.

   2. Построить цикл из этой клетки.

   3. Перебросить по этому циклу максимально возможное количество грузов, которое определяется минимальной перевозкой среди всех отрицательных вершин цикла, и получить новый допустимый план. Затем переходим к пункту 1.

		V1=3	V2=5	V3=7	V4=4
		B1	B2	B3	B4	Запасы
U1=0	A1	3	5	4	5	5,1
		2	3,1	- 3	-
U2=-3	A2	1	2	4	3	8,1
		-	3,9	4,2	-
U3=-1	A3	1	5	6	3	9,1
		- 1	-	2,8	6,3
		2	7	7	6,3	22,3	22,3

		V1=	V2=	V3=	V4=
		B1	B2	B3	B4	Запасы
U1=	A1	3-	5	4+	5	5,1
		0		5,1
U2=	A2	1	2	4	3	8,1
			7	1,1
U3=	A3	1+	5	6-	3	9,1
		2		0,8	6,3
		2	7	7	6,3	22,3	22,3

F1=81.8

F2=79.8

F3=64.5