Двойственность в злп

С каждой задачей линейного программирования тесно связана другая линейная задача, которая называется двойственной, первоначальная задача называется исходной. Связь между исходной и двойственной заключается главным образом в том, что решение одной из них может быть получена непосредственна из решения другой.

Например:

Предприятие имеет m видов ресурсов в количестве Bi (i от 1 до m единиц) из которых производится n видов продукции. Для производства i-той продукции расходуется Aij j-го ресурса, а стоимость составляет Cj единиц. Через Xi (i от 1 до n) обозначает количество единиц продукции запланированных для производства. Составить план выпуска продукции, который обеспечит ее максимальный выпуск в стоимосмом выражении.

Найти x=(x1,…xn)

Z= c1x1+c2x2+…+cnxnmax

A11x1+…+a1nxn<=b1

…

Am1x1+…+amnxn <=bm

Исходная

Оценим ресурсы необходимые для изготовления продукции. Обозначим через yj(j от 1 до m) в стоимость единицы j-го ресурса. Тогда общая стоимость всех затраченных ресурсов идущих на изготовление i-ой продукции будет равна сумме aij*yi, а стоимость затраченных ресурсов не может быть меньше стоимости окончательного продукта, поэтому должно выполняться неравенство aij*yi>=ci (i=1,n).

Стоимость всех имеющихся ресурсов выражается величиной Bj*Yj. То есть двойственная задача имеет вид:

Найти y=(y1,…ym)

f= b1y1+b2y2+…+bmymmin

A11y1+…+am1ym<=c1

…

A1my1+…+amnym <=cn

Двойственная

Экономическая интерпретация двойственности задач:

1. Исходная задача – сколько и какой продукции xi (i=1, n) необходимо пробрести, что бы при заданной стоимости ci единицы продукции и размерах имеющихся ресурсов bj (j=1, m) максимизировать выпуск продукции в стоимостном выражении.

2. Двойственная задача – какова должна быть цена единицы каждого из ресурсов, чтобы при заданных количествах ресурсов bj (j=1, m) и величинах стоимости единицы продукции ci (i=1, n) минимизировать общую стоимость затрат. Переменные yj называются оценками или учетными не явными ценами.

Связь между математическими моделями:

Матрица A системы ограничений исходной задачи является транспонированной матрицей в двойственной задаче. Коэффициенты C линейной функции исходной задачи является свободными членами ограничений двойственной задачи, а свободные члены B ограничений исходной задачи являются коэффициентами функций исходной задачи.

Многие задачи ЗЛП первоначально ставятся в виде исходных или двойственных задач, поэтому говорят о паре двойственных ЗЛП.

Теорема двойственности:

Если из пары двойственных задач одна обладает оптимальным планом, то и другая имеет решение, причем экстремальные значений линейных функции выполняется соотношение - Min f = Max Z. Если линейная функция одной из задач не ограниченная, то другая не имеет решения.

Симметричные двойственные задачи:

Найти X для которой

AX>= A0

X>=0

Z=CX min

Найти Y удовлетворяющий

YA(T)<=C

Y>=0

F=YA0max

Используя симметричность можно выбрать любую задачу удобную для решения.

Пример:

Найти min

Z= x1+2x2+3x3 min

2x1+2x2-x3>=2

-X1+x2+4x3>=3

X1+x2-2x3>=6

X21+x2-2x3>=3

Двойственная

F= 2y1+3y2+6y3 max

2y1-y2+y3+2y4<=1

2y1+y2+y3+y4<=2

-y1+4y2-2y3-2y4<=3

Исходная

2y1-y2+y3+2y4+y5=1

2y1+y2+y3+y4+y6=2

-y1+4y2-2y3-2y4+y7=3

Оптимальный план исходной задачи можно получить из первой строки последней симплекс таблицы. Коэффициенты стоящие на первоначальном базисе сложенные с соответственными значениями коэффициентов линейно функции дадут оптимальный план исходной задачи.

Не симметричные двойственные задачи:

Найти X для которой

AX= A0

X>=0

Z=CX min

Найти Y удовлетворяющий

YA(T)<=C

F=YA0max

Пример:

Найти min значение линейной функции

Z= x2-x4-3x5 min

X1+2x2-x4+x5=1

-4x2+x3+2x4-x5=2

3x2+x5+x6=5

Исходная

F= y1-2y2+5y3 max

Y1<=0

2y1-4y2+3y3<=1

Y2<=0

-y1+2y2<=-1

Y1-y2+y3<=-3

Y3<=0

Двойственная

Для получения решения двойственной из исходной нужно выбрать коэффициенты из первой строки последней симплекс таблицы значения относящие к первоначальному базису и отнять их от соответствующего значения коэффициента линейной функции.