Симплекс-метод решения задач линейного программирования

В ЗЛП можно записать в векторной форме.

1. Планом или допустимым решением ЗЛП называется вектор Х=(x1,x2,…,xn) удовлетворяющим условием ограничением ЗЛП.

2. План Х называется опорным, если векторы ai (i=1,n) входящие в разложение с положительными xi являются линейно-независимыми.

3. Опорный план называется невырожденным, если он содержит m положительных компонентов. В противном случае он называется вырожденным.

4. Оптимальным планом или оптимальным решением ЗЛП называется план доставляющий (наибольшее) значение линейной функции.

Доказано, что оптимальное решение ЗЛП связано с угловыми точками многогранника решения, то есть с опорными планами, каждый из которых определяется системой m линейно-независимых векторов содержащихся в системе из N векторов.

При больших m и n найти оптимальный план перебором всех возможных, очень трудно. Поэтому необходимо иметь схему, которая позволяет осуществлять упорядоченный переход от одного плана к другому. Такой схемой является симплексный метод, который позволяет исходя из известного опорного плана задачи за конечное число шагов получить ее оптимальный план. На каждом шаге определяется новый план, которому соответствует меньшее значение линейной функции, чем на предыдущем шаге. Процесс продолжается до получения оптимального плана. Если задача не обладает планами или ее линейная функция неограниченна на многограннике решений, то симплекс метод позволяет установить это.

Геометрическая интерпретация симплекс-метода.

Геометрическую интерпретацию можно дать 2-мя способами

1. Интерпретация метода и пространства условий. При этом иллюстрируется изменения иллюстрации. Включение и исключение векторов.

2. Интерпретация состоит в том, чтобы показать, каким образом последовательные итерации, связанные с переходом от одной экстремальной к точке к другой смежной с предыдущей, и как эти переходы постепенно улучшают значения целевой функции. Когда улучшение станет невозможным, целевая функция достигнет оптимального значения.

Правила выбора начального опорного плана.

Возможны 2 случая:

1. Состав матрицы А канонической задачи входит матрица Е размером m на m.

2. Матрица A не содержит единичную матрицу размером m на m. Тогда для нахождения опорного плана надо привести систему к виду 1 (диагональная форма по базисным переменным (используя метод Гаусса)). Затем получаем случай 1.

Найти начальный опорный план ЗЛП:

2х1-х2+x3<=1

4x1-2x2+x3>=-2

3x1+x3<=5

Изменения

-4x1+2x2-x3<=-2

2x1-x2+x3+x4=1

4x1-2x2+x3+x5=-2

3x1+x3+x6=5

2 -1 1 1 0 0

-4 2 -1 0 1 0

3 0 1 0 0 1

Xd=0, Xb=A0.

Симплекс таблицы (СТ).

СТ – основной элемент вычислительной процедуры симплекс-метода.

	X1	X2	…	Xn	B	b/x
z
X1
…
xm

Порядок заполнения симплекс-таблицы.

1. В первой строке (Z) записываются коэффициенты Z-уравнения (z-f(x)=0) или коэффициенты целевой функции с обратным знаком.

2. В столбцы записываются коэффициенты ограничений. В первом столбце указываются базисные переменные. В столбце (B) их значения. В столбце (B/X) записываются отношения значения из столбца B к значению ведущего столбца.

F(x)=-5x1-10x2+15x3. Z-F(x)=0. Z+5x1+10x2-15x3

	X1	X2	X3	X4	X5	X6	b	b/x
Z	5	10	-15	0	0	0
X4	2	-1	1	1	0	0	1
X5	-4	2	-1	0	1	0	2
X6	3	0	1	0	0	1	5

Алгоритм вычисления прямо-допустимой симплекс-таблицы (максимизация).

Симплекс-таблица называется прямо-допустимой, если bi больше или равны нулю.

1. Проверка оптимальности или нахождения ведущего столбца симплекс-таблицы.

   1. Если коэффициенты в первой строке при не базисных переменных не отрицательны, то текущее базисное решения является оптимальным.

   2. В противном случае на следующей итерации число базисных переменных вводится переменная Xs с минимальным отрицательным значением первой строки.

2. Проверка условия не ограниченности решения ЗЛП и нахождение ведущей строки (ведущего элемента СТ.).

   1. Если в ведущем столбце S СТ. нет положительных коэффициентов, то ЗЛП не имеет оптимального решения (не ограниченно).

   2. В противном случае в качестве базисной переменной, которая исключается из базиса, выбирается Xr, для которой отношение b/x минимальное не отрицательное. Строка с номером R называется ведущей строкой, а значение Ars>0 ведущим элементом симплекс-таблицы.

3. Преобразование симплексной таблицы. Используя эквивалентные преобразования таблицы (процедуру Гаусса) пересчитываем таблицу так, чтобы ведущий элемент новой симплекс-таблицы стал равным 1, а остальные элементы ведущего столбца равны нулю. Для этого:

   1. Определим новую ведущую строку, поделив старую на ведущий элемент.

   2. Для остальных строк: старая строка минус новая строка, умноженная на элемент ведущего столбца.