Вывод из уравнений Максвелла
Закон Био — Савара — Лапласа может быть получен из уравнений Максвелла для стационарного поля. При этом производные по времени равны 0, так что уравнения для поля в вакууме примут вид (в системе СГС)
где 
— плотность
тока в
пространстве. При этом электрическое
и магнитное поля оказываются независимыми.
Воспользуемся векторным потенциалом
для магнитного поля (в системеСГС):
Калибровочная инвариантность уравнений позволяет наложить на векторный потенциал одно дополнительное условие:
Раскрывая двойной ротор по формуле векторного анализа, получим для векторного потенциала уравнение типа уравнения Пуассона:
Его частное решение даётся интегралом, аналогичным ньютонову потенциалу:
Тогда магнитное поле определяется интегралом (в системе СГС)
аналогичным по форме закону Био — Савара — Лапласа. Это соответствие можно сделать точным, если воспользоваться обобщёнными функциями и записать пространственную плотность тока, соответствующую витку с током в пустом пространстве. Переходя от интегрирования по всему пространству к повторному интегралу вдоль витка и по ортогональным ему плоскостям и учитывая, что получим закон Био — Савара — Лапласа для поля витка с током.
Закон ампера
Зако́н
Ампе́ра —
закон взаимодействия электрических
токов.
Впервые был установлен Андре
Мари Ампером в 1820 для
постоянного тока. Из закона Ампера
следует, что параллельные проводники с
электрическими токами, текущими в одном
направлении, притягиваются, а в
противоположных — отталкиваются.
Законом Ампера называется также закон,
определяющий силу, с которой магнитное
поле действует
на малый отрезок проводника с током.
Сила 
,
с которой магнитное поле действует на
элемент объёма 
проводника
с током плотности 
,
находящегося в магнитном поле с
индукцией 
:
.
Если
ток течёт по тонкому проводнику, то 
,
где 
—
«элемент длины» проводника — вектор,
по модулю равный 
и
совпадающий по направлению с током.
Тогда предыдущее равенство можно
переписать следующим образом:
Сила , с которой магнитное поле действует на элемент проводника с током, находящегося в магнитном поле, прямо пропорциональна силе тока в проводнике и векторному произведению элемента длины проводника на магнитную индукцию :
|
.Направление силы определяется по правилу вычисления векторного произведения, которое удобно запомнить при помощи правила правой руки.
Модуль силы Ампера можно найти по формуле:
,
где 
—
угол между векторами магнитной индукции
и тока.
Сила 
максимальна
когда элемент проводника с током
расположен перпендикулярно линиям
магнитной индукции (
):
.
Закон индукции Фарадея
Анализируя результаты, полученные опытным путем, Фарадей пришел к количественному закону электромагнитной индукции. Он показал, что всякий раз, когда происходит изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции, в контуре возникает индукционный ток; возникновение индукционного тока указывает на наличие в цепи электродвижущей силы, называемой электродвижущей силой электромагнитной индукции. Значение индукционного тока, а, следовательно, и э.д.с. электромагнитной индукции определяется только скоростью изменения магнитного потока, т.е.
Теперь необходимо выяснить знак E. Вообще, знак магнитного потока зависит от выбора положительной нормали к контуру. В свою очередь, положительное направление нормали определяется правилом правого винта. Следовательно, выбирая положительное направление нормали, мы определяем как знак потока магнитной индукции, так и направление тока и э.д.с. в контуре. Пользуясь этими представлениями и выводами, можно соответственно прийти к формулировке закона электромагнитной индукции Фарадея: какова бы ни была причина изменения потока магнитной индукции, охватываемого замкнутым проводящим контуром, возникающая в контуре э.д.с
Знак минус показывает, что увеличение потока (dФ/dt>0) вызывает э.д.с E < 0, т.е. поле индукционного тока направленно навстречу потоку; уменьшение потока (dФ/dt<0) вызывает E > 0, т.е. направление потока и поля индукционного тока совпадают. Знак минус в формуле правилом Ленца - общим правилом для нахождения направления индукционного тока, выведенного в 1833 г.
Закон Фарадея можно сформулировать еще таким образом: э.д.с. электромагнитной индукции в контуре численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную этим контуром.
Этот закон является универсальным: э.д.с. не зависит от способа изменения магнитного потока.
Э.д.с. электромагнитной индукции выражается в вольтах. Действительно, учитывая, что единицей магнитного потока является вебер (Вб), получим
Какова природа э.д.с. электромагнитной индукции? Если проводник (подвижная перемычка контура рис. 3) движется в постоянном магнитном поле, то сила Лоренца, действующая на заряды внутри проводника, движущиеся вместе с проводником, будет направлена противоположно току, т.е. она будет создавать в проводнике индукционный ток противоположного направления (за направление электрического тока принимается движение положительных зарядов).
Таким образом, возбуждение э.д.с. индукции при движении контура в постоянном магнитном поле объясняется действием силы Лоренца, возникающей при движении проводника. Согласно закону Фарадея, возникновение э.д.с. электромагнитной индукции возможно и в случае неподвижного контура, находящемся в переменном магнитном поле. Однако сила Лоренца на неподвижные заряды не действует, поэтому в данном случае ею нельзя объяснить возникновение э.д.с. индукции.
Максвел для объяснения э.д.с. индукции в неподвижных проводниках предложил, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в проводнике. Циркуляция вектора ЕВ этого поля по любому неподвижному контуру L проводника представляет собой э.д.с. электромагнитной индукции:
