22.Магнитный дипольный момент. Векторный потенциал и напряженность поля магнитного диполя в статике. Энергия магнитного диполя во внешнем магнитном поле.

      Пусть в некотором конечном объеме  безграничного пространства текут электрические токи с объемной плотностью  . Предположим, что для рассматриваемого объема выполнено условие

     

(4.1)

     Введем в рассмотрение величину

     

(4.2)

     которую назовем магнитным моментом системы токов в объеме  . В определении (4.2)  - радиус-вектор элемента тока  . Можно проверить, что величина (4.2) характеризует систему токов в объеме   и не зависит от выбора положения начала координат системы отсчета. Действительно, если

     

     то

     

     Учитывая условие (4.1), убеждаемся, что

     

.

      Если ток   течет по тонкому проводнику, имеет место очевидная замена   при этом направление тока   считается положительным, если оно совпадает с направлением ориентированного отрезка контура  . В этом случае

     

,

(4.3)

     если выполнено условие

     

.

(4.4)

     В простейшем случае замкнутого контура величина   постоянна для всех элементов  рассматриваемого контура, что приводит к соотношениям:

     

.	(4.5)
Рис. 4.1. К определению дипольного момента контура с током

     Заметим, что второе из соотношений (4.5) - формальное требование замкнутости контура.

      Векторное произведение в первом из соотношений (4.5) можно преобразовать:

     

,

     где   - ориентированный элемент площади треугольника, образованного векторами   и  . С учетом этого преобразования получаем:

     

.

(4.6)

     Допустим, что на рассматриваемый контур   с током   "натянута" поверхность  , для которой выполнены известные условия непрерывности и гладкости. Боковая поверхность конуса , составленная из элементов поверхности   и поверхность   в совокупности образуют замкнутую поверхность, для которой

     

.

(4.7)

     Заметим, что выражение (4.7) справедливо, если нормаль к поверхности   направлена внутрь конического тела.

      Из соотношения (4.7) следует:

     

,

     а если сменить направление нормали к элементу поверхности   на противоположное, то получим

     

.

     Таким образом, магнитный момент пространственного (не лежащего целиком в какой-либо плоскости) замкнутого контура с током   определен соотношением:

     

.

(4.8)

     Следует заметить, что в рассмотренном построении естественным образом возникло правило согласования между собой положительного направления обхода контура (направление  ) и направления нормали   к элементам поверхности, натянутой на этот контур.

       Если замкнутый контур с током является плоским, тогда вектор нормали к плоской поверхности сохраняет одно и то же направление для всех элементов плоской поверхности, величину   можно вынести из под знака интеграла (4.8), а оставшееся выражение проинтегрировать:

     

(4.9)

     Заметим, что для плоского контура справедливы формулы и (4.8) и (4.9),