7. Уравнения Максвелла в среде в векторной дифференциальной и интегральной формах в гауссовой, Хевисайда-Лоренца и системе единиц си. Связь между векторами е,d, в,h. Сила Лоренца в среде.

8. Системы единиц измерения cгсе и cгcм в электродинамике. Связъ между электродинамическими величинами в cгсе и cгcм. Сгсэ

В СГСЭ электрическая постоянная ε₀ (диэлектрическая проницаемость вакуума) безразмерна и равна 1, магнитная постоянная µ₀ = 1/с² (размерность: с²/см²), где c — скорость света в вакууме, фундаментальная физическая постоянная. В этой системе закон Кулона в вакууме записывается без дополнительных коэффициентов: F = Q₁Q₂/r², в результате единица заряда должна быть выбрана как квадратный корень из единицы силы (дина^1/2), умноженный на единицу расстояния (сантиметр). Из выбранной таким образом единицы заряда (называемой статкулоном, размерность: см^3/2г^1/2с⁻¹) выводятся определения производных единиц (напряжения, силы тока, сопротивления и т. п.).

СГСМ

В СГСМ магнитная постоянная µ₀ безразмерна и равна 1, а электрическая постоянная ε₀ = 1/с² (размерность: с²/см²). В этой системе нефизические коэффициенты отсутствуют в формуле закона Ампера для силы, действующей на единицу длины l каждого из двух бесконечно длинных параллельных прямолинейных токов в вакууме: F = 2I₁I₂l/d, где d — расстояние между токами. В результате единица силы тока должна быть выбрана как квадратный корень из единицы силы (дина^1/2). Из выбранной таким образом единицы силы тока (иногда называемой абампером, размерность: см^1/2г^1/2с⁻¹) выводятся определения производных единиц (заряда, напряжения, сопротивления и т. п.).

9. Энергия и импульс электромагнитного поля в среде. Установление их размерности в системе си

Энергия

Импульс

10. Установление размерности энергии и импульса электромагнитного поля в вакууме в гауссовой системе единиц.

11. Уравнения Максвелла для заряженных частиц в вакууме в тензорной форме, получение из них уравнений в дифференциальной векторной форме.

Уравнения Максвелла для зарядов в вакууме, получаемые путем вариации функционала действия, представляют собой соотношения, связывающие компоненты тензора электромагнитного поля и 4-вектора плотности электрического тока. Тензор электромагнитного поля является кососимметричным тензором второго ранга типа . В лабораторной системе координат , он имеет следующий вид [2]:

(1)

Наборы компонент и тензора составляют 3-векторы электрического и магнитного полей соответственно.

Лабораторные координаты в дальнейшем будем обозначать , . Введем координаты , соответствующие собственному времени:

, , , . (2)

Рассмотрим  – тензор электромагнитного поля в координатах :

(3)

Установим соответствие между компонентами тензоров и . Для этого построим матрицы Якоби замены координат на :

, , (4)

и вычислим явно, как преобразуется тензор электромагнитного поля [3]:

,

откуда

.

Первая пара уравнений Максвелла в тензорном виде имеет следующий вид [2]:

(5)

Здесь операция  – внешнее дифференцирование кососимметрического тензора

.

Эта операция является тензорной [4], то есть ее координатная запись не зависит от выбора системы координат. Поэтому

.

В силу этого первая пара трехмерных уравнений Максвелла в собственном времени:

,

где , , и обозначают дивергенцию и ротор в координатах , а .

Рассмотрим преобразование 4-вектора плотности электрического тока при переходе (2) из координат в координаты . Пусть в координатах , где  – плотность заряда,  – 3-плотность электрического тока. Тогда в координатах

. (6)

Вторая пара уравнений Максвелла с помощью тензора электромагнитного поля и 4-вектора плотности тока записывается в следующем виде:

, (7)

где обозначает ковариантное дифференцирование, а

,

где – метрический тензор в координатах ,

 .

В координатах

.

Ковариантное дифференцирование является тензорной операцией. Уравнение (7) в произвольных координатах имеет следующий вид:

, (8)

где  – символы Кристоффеля.

Рассмотрим второе слагаемое в уравнении (8). Вычислим символы Кристоффеля в координатах [4]:

.

Среди всех комбинаций, возможных в правой части, только , , отличны от нуля. Во второе слагаемое (8) входят только те символы Кристоффеля вида , которые равны нулю. Третье слагаемое представляет собой свертку символов Кристоффеля, симметричных по нижним индексам с тензором, кососимметрическим по тем же индексам, поэтому оно равно нулю. Значит, в координатах уравнение (8) имеет вид:

Отсюда следует вторая пара трехмерных уравнений Максвелла:

,

где .

Таким образом, полная система уравнений Максвелла в собственном времени, то есть в координатах имеет следующий вид:

,