8. Алгебраизация уравнений динамики аср. Понятие комплексной передаточной функции. Формы задания комплексных передаточных функций.

Переход от системы линейных дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений  называют алгебраизацией системы дифференциальных уравнений.

Комплексная передаточная функция (КПФ) определяется как отношение комплексной амплитуды реакции цепи к комплексной амплитуде входного воздействия.

При алгебраизации используется свойство преобразований Лапласа, которое позволяет процедуру взятия n-ой производной от функции в области реального времени в комплексной плоскости заменить умножением изображения на Sⁿ

- степень полинома degA(S)=n

- является решением в комплексной плоскости исходного неоднородного дифференциального уравнения динамики.

Если система до момента исследования находилась в покое, то предначальные условия были нулевыми, и уравнение умеет вид:

- полиномиальная форма записи

- комплексная передаточная функция, которая при нулевых начальных условиях является полной характеристикой динамической системы.

, Z_k – нули передаточной функции

, p_k – полюса передаточной функции

, факторизованная передаточная функция

Если коэффициент дифференциального уравнения имеет размерность «время», то передаточная функция:

9. Понятие динамической характеристики аср. Временные характеристики линейных систем управления. Применение интеграла свертки при исследовании аср.

Динамическая характеристика оценивает работу системы регулиро­вания в переходном процессе. Динамическая характеристика снимается с помощью лабораторно­го осциллографа, записывающего из­менение частоты вращения и дру­гих параметров во времени. Динамическая характеристика, как правило, определяются экспериментально. При невозможности получения экспериментальной характеристики пользуются методом математического моделирования АСР, описывая ее поведение дифференциальными уравнениями.

Временные характеристики показывают поведение системы с момента подачи на нее воздействия в виде единичной ступенчатой или единичной импульсной функции, до момента перехода системы в установившейся режим. По этим характеристикам судят о поведении системы в переходном режиме и о точности работы системы. В соответствии с входным сигналом различают две переходные характеристики:

Переходной характеристикой h(t) называется реакция объекта на единичное ступенчатое воздействие (сигнал) при нулевых начальных условиях, т.е. при х(0) = 0 и у(0) = 0.

Импульсной характеристикой (t) называется реакция объекта на -функцию при нулевых начальных условиях.

Для получения переходной и импульсной характеристики нужно в дифференциальное уравнение связи подставить в качестве входного сигнала единичную ступенчатую функцию для нахождения h(t) и решить получившееся уравнение относительно h(t), а затем для того чтобы получить ω(t) достаточно продифференцироватьh(t).

Интеграл свертки можно рассматривать как вариант интеграла Дюамеля, в котором под интегралом проведено интегрирование по частям. Это позволяет выразить выходной сигнал системы через ее весовую функцию

Интеграл Дюамеля позволяет определять реакцию системы на неизвестное или известное воздействие  в текущем времени (в реальном, замедленном или ускоренном масштабе, в зависимости от мощности вычислительного инструмента и желания исследователя) по ее переходной функции :

Как видно, интеграл Дюамеля оперирует с сигналами, начавшимися в нулевой момент времени или позднее и может учитывать одно начальное условие (выходной сигнал в начальный момент времени), но не значения младших производных выходного сигнала в нулевой момент времени, которые предполагаются нулевыми.