5.4. Частотный метод синтеза

Постановка задачи. Этот метод активно развивался, начиная с 50-х годов. Он применяется, в основном, как графический и не позволяет получить точных оценок показателей качества, но является достаточно простым методом синтеза. Метод применяется, в основном, для синтеза линейных скалярных систем и иногда эффективно применяется для расчета нелинейных систем.

Для данного метода необходимо:

 задать математическую модель объекта в виде передаточных функций и от них перейти к частотным характеристикам;

 построить по заданным показателям качества желаемые частотные характеристики;

 определить структуру корректирующего звена регулятора с помощью передаточных функций или частотных характеристик.

Будем рассматривать объект управления (рис. 5.5), поведение которого описывает передаточная функция W_O(p), а выходная переменная измеряется с помехой H(t). Влияние окружающей среды отражает возмущение f(t).

Требования к поведению замкнутой системы заданы в виде оценок переходного процесса, в качестве которых используются статическая ошибка (δ_*), перерегулирование (σ_*) и быстродействие (t^*_p).

Необходимо определить передаточную функцию W_к(p) регулятора (корректирующего звена), включение которого в систему обеспечит в ней заданное качество работы.

-

Рис. 5.5. Расчетная структурная схема системы

Частотный метод синтеза предполагает использование асимптотических логарифмических амплитудных частотных характеристик, он применяется для расчета одноканальных систем, функционирующих в режиме слежения или отработки входного воздействия. Предполагается, что корректирующее звено (регулятор) находится на входе системы.

Рассмотрим в начале реакцию системы только на входное воздействие g, полагая возмущение и помеху измерения равными нулю (f=0, H=0), их влияние мы учтем в дальнейшем. Определим сначала передаточную функцию разомкнутой системы

(5.27)

а затем замкнутой

(5.28)

Как видим, передаточную функцию замкнутой системы однозначно определяет W_p(p).

Таким образом, если удастся сформировать определенную передаточную функцию или частотную характеристику для разомкнутой системы, то тем самым можно обеспечить требуемые свойства замкнутой системе.

Влияние частотной характеристики разомкнутой системы на свойства замкнутой. Рассмотрим подробнее связь между частотными характеристиками разомкнутой и замкнутой систем, для чего перейдем от передаточной функции (5.27) к частотной характеристике

^(5.29)

Исследуем характеристику (5.29) в различных областях частот как это принято в инженерной практике. Введем предварительно несколько определений.

Областью низких частот будем называть область изменения ω вблизи нуля. В ней по условию статики выполняется соотношение

где k_о коэффициент усиления объекта. Обычно k_о >>1, поэтому для разомкнутой системы в соответствии с (5.29) получим

(5.30)

Областью высоких частот будем называть совокупность частот, намного превышающих полосу пропускания системы. Здесь справедливы соотношения

(5.31)

Под зоной средних частот будем понимать промежуток между зонами низких и высоких частот, где выполняются соотношения

(5.32)

Поскольку частотные характеристики разомкнутой и замкнутой систем связаны соотношением, аналогичным (5.28), с учетом (5.30) в области низких частот получим

т.е. частотная характеристика разомкнутой системы практически не влияет на аналогичную характеристику замкнутой системы.

В области высоких частот с учетом (5.31) справедливо соотношение

а, следовательно, частотная характеристика разомкнутой системы также не влияет на свойства замкнутой.

Таким образом, наибольшее влияние разомкнутая система окажет на свойства замкнутой в области средних частот, где необходимо наиболее тщательно формировать частотную характеристику W(jω).

Основные соотношения частотного метода синтеза. На основе выражения (5.29) получим расчетные соотношения частотного метода синтеза. Если удается задать определенную частотную характеристику разомкнутой системы W_p^*(jω), то из (5.29) можно вычислить W_k(jω). Однако этот способ является громоздким и не нашел практического применения, но на его основе разработан удобный метод синтеза по ЛАЧХ. Запишем его расчетное соотношение, для чего частотную характеристику разомкнутой системы представим в форме

В соответствии с (5.29) для амплитудных частотных характеристик справедливо равенство

которое в логарифмическом масштабе принимает вид

(5.33)

Поскольку в результате расчета реальная амплитудная частотная характеристика должна совпасть с желаемой, то приравнивая правую часть (5.33) , получим

Отсюда следует расчетное соотношение для логарифмической харак-

теристики регулятора, которое является основным в частотной методе синтеза

(5.34)

Таким образом, для расчета регулятора необходимо построить логарифмическую амплитудную частотную характеристику объекта и на основе требований к качеству процессов в замкнутой системе сформировать логарифмическую амплитудную частотную характеристику разомкнутой системы. Затем следует определить логарифмическую амплитудную частотную характеристику регулятора в соответствии с выражением (5.34).

Построение асимптотической логарифмической амплитудной частотной характеристики объекта. Часто модель объекта управления представляет собой последовательную цепочку типовых звеньев, поэтому L_о(ω) можно получить, суммируя отдельные логарифмические амплитудные частотные характеристики. Подобное суммирование позволяет предложить следующую процедуру построения L₀ (ω).

 На частоте ω = 1 (или в логарифмическом масштабе ) фиксируется точка, соответствующая значению , где k_О, - коэффициент усиления объекта;

 На оси абсцисс отмечаются частоты сопряжения (или ), , где п – число типовых звеньев в составе передаточной функции объекта;

 до первой частоты сопряжения строится низкочастотная асимптота с наклоном –20rдБ/дек, если W_о(p) содержит интегрирующие звенья, а r – число таких звеньев. Наклон характеристики будет равен +20l дБ/дек, если передаточная функция объекта содержит дифференцирующие звенья, l  число этих звеньев. Низкочастотная асимптота строится таким образом, чтобы она сама или ее продолжение проходили через точку ;

 на частотах сопряжения происходит «излом» асимптотической логарифмической амплитудной частотной характеристики объекта. Наклон ее изменяется на 20r дБ/дек, если соответствующая частоте сопряжения постоянная времени находится в знаменателе передаточной функции объекта, r  число таких звеньев. «Излом» асимптотической логарифмической амплитудной частотной характеристики будет равен +20lдБ/дек, если постоянная времени находится в числителе передаточной функции, l  число звеньев. Новая асимптота проводится до следующей частоты сопряжения, где также происходит ее «излом» в соответствии с указанным правилом.

Для построения ЛАЧХ объекта с произвольной передаточной функцией

следует перейти к выражению для частотной характеристики

Амплитудная частотная характеристика определяется так:

что позволяет вычислить

(5.35)

Таким образом, логарифмическая амплитудная частотная характеристика объекта находится как разность (5.35).

Построение желаемой логарифмической амплитудной частотной характеристики. Поскольку желаемая логарифмическая амплитудная частотная характеристика строится на основе требований к качеству работы замкнутой системы в статике и динамике, рассмотрим эти режимы отдельно.

Так как в основном статическую ошибку в системе (см. рис. 5.10) порождает возмущающее воздействие (см. разд. 4), то необходимо обеспечить выполнение условия

, (5.36)

где

есть величина максимально допустимой статической ошибки;  ее относительное значение;  действительная статическая ошибка системs от возмущения.

Известно, что на величину статической ошибки влияет общий коэффициент усиления , который равен произведению коэффициентов усиления объекта и регулятора .

В случае статической системы ошибка соответствует выражению (5.15), т.е.

С учетом требования (5.36) расчетное соотношение для k_р принимает вид

(5.37)

Для астатических систем, работающих в режиме линейной заводки, коэффициент усиления k_р можно определить на основе выражения (4.30, б)

и представляет собой допустимое значение коэффициента ошибки.

При синтезе систем частотным методом удобно «выровнять» по коэффициенту ЛАЧХ объекта и строить ЛАЧХ разомкнутой системы с коэффициентом усиления k_р. Таким образом, требование по статике учитывается на этапе построения логарифмической характеристики объекта.

Обсудим теперь построение желаемой ЛАЧХ разомкнутой системы, которую будем выбирать из условий требуемой динамики замкнутой системы. Так как наибольшее влияние на свойства замкнутой системы разомкнутая оказывает в области средних частот (см. п. 5.4.2), построение желаемой характеристики начинается именно в этой области частот (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Среднечастотная асимптота желаемой ЛАЧХ

Опытным путем установлено, что для обеспечения заданных динамических свойств наклон среднечастотной асимптоты следует выбирать равным 20 дБ/дек., причем ось абсцисс она пересекает в точке lg ω_ср. Частота среза ω_ср в данном методе играет роль граничной частоты полосы пропускания, при этом значение АЧХ системы становится равным единице.

Частота ω_ср выбирается по заданному быстродействию и перерегулированию замкнутой системы, а соотношение между t^*_р и ω_ср устанавливают номограммы, приводимые в справочной литературе. Для предварительных расчетов можно пользоваться выражением

, (5.38)

где k = (2...4) и зависит от величины заданного перерегулирования.

Длина среднечастотного участка желаемой L(ω) логарифмической амплитудной характеристики ограничивается запасом устойчивости по модулю ΔL, который откладывается вверх и вниз по оси ординат. В свою очередь, ΔL находится по номограммам в зависимости от требуемого перерегулирования σ*. Приближенно длина среднечастотного участка l = (1... 1,5) декады, причем вправо и влево от lg ω_ср длина асимптоты составляет 0,5l. В этом случае в системе будет обеспечено перерегулирование σ = (20...30)%.

Далее переходим к построению желаемой характеристики в области высоких и низких частот. Поскольку L_о(ω) строится с учетом рассчитанного из условий статики коэффициента усиления к_р, для обеспечения требуемой статической ошибки следует обеспечить совпадение в области низких частот L*(ω) с логарифмической амплитудной характеристикой объекта. В области высоких частот эти две характеристики могут совпадать или быть параллельными. Далее среднечастотная часть сопрягается с низкочастотной и высокочастотной асимптотами желаемой логарифмической амплитудной характеристики. Наклон логарифмической амплитудной характеристики на участках сопряжения должен быть кратным ±20 дБ/дек, их следует проводить так, чтобы получить наиболее простую характеристику.

Пример 5.2. Построить асимптотическую логарифмическую амплитудную характеристику объекта, передаточная функция которого имеет вид

где коэффициент усиления k_о = 10, а постоянные времени T₁ = 10 с, T₂ = 1 с.

Решение. Предварительно представим передаточную функцию в виде

откуда следует, что система представляет собой последовательное соединение усилительного, интегрирующего и двух апериодических звеньев.

Определим характерные точки (точки излома асимптотической логарифмической амплитудной характеристики):

дБ;

дек.;

,

и отметим их на осях координат (рис. 5.7).

Рис. 5.7. Асимптотическая ЛАЧХ объекта для примера 5.2

Логарифмическая амплитудная характеристика начинается из области низких частот, которая расположена левее первой частоты сопряжения. Низкочастотная асимптота имеет наклон –20 дБ/дек., так как передаточная функция объекта содержит интегрирующее звено. Проводится она до частоты lg ω₁, так, чтобы ее продолжение пересекало ось ординат в точке 20 lg k_о. На частоте lg ω₁, происходит «излом» характеристики на 20 дБ/дек., что соответствует первому апериодическому звену в составе W_о(p). Следовательно, до следующей частоты сопряжения (lg ω₂) асимптота имеет наклон 40 дБ/дек. «Излом» характеристики на частоте lg ω₂ равен –20 дБ/дек., так как в составе W_о(p) есть второе апериодическое звено с постоянной времени Т₂, так что наклон последней асимптоты ЛАЧХ объекта будет равен –60 дБ/дек.

■

Определение передаточной функции регулятора. Асимптотическую логарифмическую амплитудную характеристику регулятора определим графически в соответствии с основным соотношением частотного метода синтеза (5.34) в виде

По найденной характеристике определим частоты сопряжения, где происходит излом L_о(ω), и соответствующие им значения постоянных времени. Передаточная функция W_к(р) определяется на основе процедуры, обратной по отношению к правилу построения логарифмической амплитудной характеристики объекта. Причем в окончательную передаточную функцию регулятора следует добавить коэффициент усиления k_к = k_р/k₀ , рассчитанный по условиям статики, т. е.

.

Реализовать полученную передаточную функцию можно на пассивных или активных элементах. При этом следует учитывать, что переход от передаточной функции к структурным звеньям возможен посредством сигнальных графов в формах с фазовой переменной либо с многомерным входом и последующим переходом к структурным графам. Отметим также, что в этом методе синтеза для реализации регулятора можно использовать любой из вариантов структурных схем.

Пример 5.6. Для системы с передаточной функцией объекта

и построенной по заданным требованиям к динамике и статике логарифмической характеристикой L_*(ω) (рис. 5.8) необходимо определить передаточную функцию регулятора.

Предварительно графически найдем L_к(ω) как разность между желаемой характеристикой L_*(ω) системы и ЛАЧХ объекта L_о(ω). Определим частоты сопряжения ω_i, i = 1÷4 , которые соответствуют точкам

Рис. 5.8. Иллюстрация частотного метода синтеза

излома характеристики корректирующего звена L_к(ω) и запишем передаточную функцию регулятора в виде

, где

Схематично полученную передаточную функцию можно представить в виде цепочки последовательно соединенных интеграторов с прямыми и обратными связями. Такое представление позволяет легко перейти к реализации корректирующего звена на активных элементах.

■

Влияние возмущения и помехи измерения на свойства замкнутой системы. Обсудим теперь влияние возмущения и помехозащищенность системы, рассчитанной частотным методом, для чего вернемся к ее исходной структуре (см. рис. 5.5).

Рассмотрим сначала случай, когда помеха измерения пренебрежимо мала (H = 0). Запишем выражение для выходной переменной системы

(5.39)

В соответствии с постановкой задачи синтеза необходимо, чтобы выходная переменная повторяла входной сигнал независимо от влияния возмущения . Обсудим, как система справляется с этой задачей, для чего исследуем ее поведение на различных частотах.

В области низких частот в соответствии с (5.30), т.е. , справедливо условие |W_k(jω)W₀(jω)|>>1 , поэтому вторая составляющая выражения (5.39) при замене p на jω обращается в нуль, а y ≈ g. Таким образом, система на низких частотах достаточно хорошо выполняет свою функцию.

Вблизи частоты среза (в области средних частот) согласно (6.32), т.е. , справедливо соотношение , а составляющие входа следующие: y = 0.5g и y_f =0.5f. Очевидно, что в такой ситуации система плохо воспроизводит вход и плохо подавляет возмущение, т. е. работает «частично».

В области высоких частот в соответствии с (6.31), т.е. , для частотных характеристик справедливо соотношение |W_к(jω)W₀(jω)|<<1, поэтому вместо выражения (6.39) получим y_g ~0 и y_f ~ f. Как видим, в этом случае система не справляется с поставленной задачей.

Следовательно, чем шире полоса пропускания (чем больше ω_ср) тем лучше в условиях действия возмущений система выполняет свое назначение. При построении желаемой логарифмической характеристики разомкнутой системы необходимо учитывать этот факт и стремиться по возможности увеличивать ω_ср .

Обсудим теперь влияние помехи Н, полагая входное воздействие g и возмущение f равными нулю. Поскольку объект, как правило, имеет ограниченную полосу пропускания и в этом случае выступает в роли фильтра, то высокочастотная помеха не будет проходить на выход системы. В основном помеха оказывает влияние на управляющее воздействие, для которого операторное выражение имеет вид

(5.40)

Рассмотрим соответствующую частотную характеристику и запишем приближенные выражения для управления (5.40) на различных частотах.

В области низких частот, когда |W_k(jω)W₀(jω)|>>1, получим

Как видим, влияние помехи будет тем меньше, чем больше коэффициент усиления объекта.

Для области средних частот справедливо условие |W_k(jω)W₀(jω)| ≈1, при этом

т. е. влияние помехи повышается по сравнению с предыдущим случаем.

В области высоких частот при выполнении соотношения (5.31) составляющую управления, порожденную помехой, приближенно можно оценить следующим образом:

Таким образом, в этом случае влияние помехи полностью определяется свойствами корректирующего звена.

Следовательно, для уменьшения влияния помехи на низких и средних частотах нужно применять «качественный» датчик, а на высоких частотах помеху измерения H(t) можно парировать путем использования регулятора, обладающего интегрирующими свойствами. Подобный эффект будет наблюдаться, если степень полинома числителя передаточной функции W_к(p) меньше степени полинома ее знаменателя. В случае когда степени полиномов А_к(р) и В_к(р) равны, в регулятор рекомендуется добавить апериодическое звено с малой постоянной времени.

Процедура синтеза регулятора частотным методом. Обобщая

рассмотренные этапы частотного метода синтеза, можно предложить следующую процедуру расчета регулятора.

1) Определяется коэффициент усиления разомкнутой системы k_р из условия заданной статической ошибки по соотношению (5.36), а затем вычисляется коэффициент усиления регулятора (корректирующего звена) k_к =k_p/k₀.

2) Строится асимптотическая логарифмическая амплитудная частотная характеристика объекта с учетом рассчитанного коэффициента усиления регулятора k_к, т. е. .

3) На основании требований к качеству процессов в замкнутой системе ( и σ^*) формируется желаемая логарифмическая амплитудная частотная характеристика разомкнутой системы .

4) Графически вычисляется логарифмическая амплитудная частотная характеристика регулятора согласно соотношению

5) На основе восстанавливается передаточная функция W_к(p),а затем записывается передаточная функция регулятора W_к(р)= k_к (р .

6) Анализируется влияние возмущения f(t) и в случае необходимости увеличивается частота среза ω _ср, для которой повторяются пп. 3-5 процедуры расчета регулятора.

7) С целью уменьшения влияния помехи измерения к рассчитанной передаточной функции W_к(р) корректирующего звена добавляется передаточная функция апериодического звена с малой постоянной времени.

8) Предлагается схемная реализация регулятора на активных или пассивных элементах.

Пример 5.7. Для следящей системы управления одним из звеньев руки робота из примера 5.2 (рис. 5.9) рассчитать регулятор, который обеспечивал бы следующее качество процессов: время установления t_n < 2с, перерегулирование σ < 30%, скоростная ошибка δ_ск < 2,5%.

Рис. 5.9. Структурная схема системы управления одним из звеньев руки робота

Решение. Здесь

и

есть передаточные функции двигателя и редуктора,

есть передаточная функция регулятора, который включает в себя корректирующее звено W_к(р) и усилитель мощности с передаточной функцией

При расчете W_k(р) коэффициент усиления усилителя мощности k_УМ добавим к передаточной функции объекта, т. е. будем рассматривать

В соответствии с процедурой синтеза определим коэффициент усиления корректирующего звена из условия заданной скоростной ошибки (см. пример 5.2),

С учетом численных значений получим 1/0,9k_к < 0,025 и k > 45 . Выберем отсюда k_к = 50 .

Для построения асимптотической логарифмической амплитудной частотной характеристики запишем в виде

и определим следующие характерные точки:

дБ;

,

, дек.

Асимптотическая ЛАЧХ приведена на рис. 5.10.

Рис. 5.10. Логарифмические АЧХ к примеру 5.7

Построим теперь желаемую ЛАЧХ, среднечастотный участок которой имеет наклон 20 дБ/дек. Исходя из заданного перерегулирования

σ* < 30%, по номограммам [2] ( рис. 5.11) определим

Рис. 5.11. Номограммы для определения параметров желаемой ЛАЧХ

Р_mах = 1,22

и

ω_н = 4π/t_n* = 6.5 с^-1.

Частоту среза обычно находят по соотношению

ω_ср = (0.6...0.9)ω _н ,

поэтому выберем

ω _ср = 5с^–1 .

В этом случае

lg ω _ср = 0,7 дек.

Запас устойчивости по модулю, ограничивающий среднечастотный участок логарифмической амплитудной частотной характеристики, также определим по номограмме, ΔL = 16дБ. В результате получим , которая приведена на рис. 5.10.

Определим теперь и запишем

где Отсюда следует, что Окончательно запишем

или

.

Схемная реализация полученной передаточной функции корректирующего звена, соответствующая второму каноническому представлению (сигнальному графу в форме с фазовой переменной), приведена на рис. 5.12.

Рис. 5.12. Пример схемной реализации регулятора