4.5. Показатели качества систем управления

Понятие качества. Качество системы управления – обобщенное понятие, характеризующее соотношение характеристик процесса управления, реализуемого системой, и затрат на их достижение.

Количественной оценкой качества системы управления было бы удобно использовать величину ошибки

δ(t) = g(t) – y(t) = _δ(p) g(t).

Но функцию ошибки δ(t) для произвольного момента времени трудно определить, поскольку она описывается с помощью дифференциального уравнения системы высокого порядка, и зависит от большого количества параметров системы.

Поэтому оценивают качество системы управления по некоторым ее свойствам, которые определяют с помощью критериев качества, характеризующих переходной (показатели реакции системы на входные сиг-

налы определенного вида) и установившийся (точность управления) режимы системы. В конечном итоге совокупность показателей качества должна отвечать на вопрос: насколько хорошо система выполняет поставленную задачу управления?

Показатели качества измеряются либо непосредственно по реакции системы на типовое воздействие, тогда они носят название прямых показателей качества, либо опосредованно, путем анализа других параметров системы, тогда они называются косвенными показателями качества. Наконец, показатели качества могут оцениваться некоторыми функционалами, значения которых определяют численную интегральную оценку показателей качества. Такие оценки называются интегральными показателями качества.

Критерии качества. Критериев качества управления много. Их разделяют на 4 группы:

1. Критерии точности – используют величину ошибки в различных типовых режимах.

2. Критерии запаса устойчивости – оценивают удаленность систем управления от границы устойчивости.

3. Критерии быстродействия – оценивают быстроту реагирования систем управления на появление задающего и возмущающего воздействий.

4. Интегральные критерии – оценивают обобщенные свойства систем управления: точность, запас устойчивости, быстродействие.

Точность в типовых режимах. Для оценки точности используется величина ошибки в различных типовых режимах. Типовые режимы движения состоят в подаче на вход сигналов с нормированными метрологическими характеристиками. Различают типовые режимы:

1. Нулевое, неподвижное состояние.

2. Движение с постоянной скоростью.

3. Движение с постоянным ускорением.

4. Движение по гармоническому закону.

Каждому из режимов соответствует определенный тестовый сигнал.

Прямые показатели качества. Типовые показатели качества обычно определяются по виду реакции на ступенчатую единичную функцию, как показано на рис. 4.31.

Рис. 4.30. Реакция системы на ступенчатую единичную функцию

Переходной режим системы управления характеризуется следующими показателями:

1. Время регулирования характеризует быстродействие системы управления и определяется интервалом времени от начала переходного процесса до момента, когда отклонение выходной величины от установившегося значения становится меньше определенной величины. Обычно это 5% от установившегося состояния.

2. Относительное перерегулирование  по управляющему воздействию определяется как

.

или, что то же самое

В случае, когда переходные процессы вызываются возмущением, максимальное отклонение определяется величиной по отношению к установившемуся состоянию

.

Обычно система управления считается хорошей, если . В некоторых системах управления перерегулирование недопустимо.

3. Числом колебаний за время переходного процесса называется отношение

,

т.е.количество минимумов в кривой переходного процесса в интервале времени . Обычно приемлемым числом колебаний в системах управления считается .

Колебательность связана с размещением корней характеристического уравнения системы и определяется как максимальное отношение мнимой и вещественной частей комплексных корней, т.е.

.

Для того чтобы ограничить колебательность, на плоскости корней задают сектор, определяемый максимальным значением (рис.4.31).

Рис. 4.31. Расположение корней характеристического уравнения

На основе показателей реакции системы в переходном режиме оценивают те или иные характеристики системы.

Так, быстродействие системы напрямую связано с временем нарастания t_ф (время изменения реакции от 0 до 100%; применяется для систем с перерегулированием) и t_ф1 (время изменения выходной реакции от 10 до 90%; применяется для систем без перерегулирования) и временем первого максимума t_max1.

Точно так же время регулирования t_p (время момента установления реакции системы внутри зоны, ограниченной  % от установившегося значения реакции системы) характеризует время переходного процесса выхода относительно входа. Обычно величина принимается равной 2…5% от установившегося значения.

В установившемся режиме (т.е. по окончании переходных процессов) качество системы оценивается величиной ошибки, т.е. отклонением вынужденного значения выходного сигнала системы от желаемого значения

.

Обычно рассматриваются следующие виды ошибок:

1.При постоянном входном сигнале (чаще всего – это ) имеет место статическая ошибка _ст, характеризующая величину отклонения установившегося значения управляемой величины от требуемого значения

.

При ступенчатом управляющем воздействии произвольной амплитуды

и статическая ошибка определяется выражением

.

2. При линейном входном сигнале

возникает скоростная ошибка

.

Процесс отработки линейного входного воздействия иллюстрируется рис. 4.32.

Рис. 4.32. Процесс отработки линейного входного сигнала

Аналогично можно рассматривать динамические ошибки при произвольном задающем входном воздействии вида

.

3. При колебательном входном воздействии оцениваются ошибки по модулю и фазе. Обычно такие оценки определяются для гармонических входных сигналов

,

где – оптимальная рабочая частота системы.

При этом выходной сигнал и сигнал ошибки также являются гармоническими

,

где – ошибка по модулю, – ошибка по фазе.

При функционировании системы в условиях случайных воздействий оценка точности системы производится по среднеквадратичной ошибке . Сигнал ошибки в этом случае является случайным процессом и оценивается такими характеристиками, как среднее значение , корреляционная функция и дисперсия .

Среднее значение является статической ошибкой системы.

Среднеквадратичная ошибка определяется как

.

Полная ошибка определяется как среднеквадратичная ошибка случайных и неслучайной ошибок

_.

Статический анализ скалярных систем. Пусть имеем систему управления с операторным представлением структурной схемы, приведенным на рис. 4.33. Ошибка системы имеет две составляющие: по каналу возмущения и по каналу управления

, (4.30)

Рис. 4.33. Операторное представление структурной схемы системы управления

где

(4.30, а)

– передаточная функция разомкнутой системы, – изображение

ошибки от управляющего сигнала, – изображение ошибки от возмущающего воздействия.

Рассмотрим условия, при которых эти составляющие минимальны.

1. Ошибка от закона управления. В установившемся режиме

^{( )}

,

и при единичном ступенчатом входном сигнале ( , ) выражение (4.30, а) приобретает вид

.

Отсюда следует, что

 ошибка принципиально не может быть равной нулю, т.е. система – астатическая;

 с ростом уменьшается, с одной стороны , а с другой  устойчивость: система может оказаться неустойчивой при , где – критический коэффициент усиления разомкнутой системы, при котором замкнутая система находится на границе устойчивости.

Поэтому при проектировании системы задается допустимая величина ошибки, а по ней определяется необходимый статический коэффициент усиления разомкнутой системы

,

из которого определяется коэффициент регулятора

(изменить нельзя, он принадлежит объекту управления!).

Если передаточная функция разомкнутой системы имеет -кратный нулевой корень

(последовательное соединение регулятора с  интеграторами), то

.

Оценим условия, при которых последнее равенство соблюдается. При и получим

,

т.е. ошибка пропорциональна скорости изменения сигнала управления (т.е. ошибка – скоростная, а система астатическая с астатизмом первого порядка). В установившемся режиме

. (4.30, б)

Определение этой ошибки производится в режиме изменения входного сигнала с постоянной скоростью (режим постоянной заводки) (рис. 4.34)

Рис. 4.34. Режим постоянной заводки следящей системы

Точно также при

и т.д. Однако с увеличением  система становится структурно неустойчивой ( ), поэтому становится необходимым применение дополнительных корректирующих звеньев (рис.4.35).

2. Ошибка по каналу возмущения в общем случае определяется выражением

.

Рис. 4.35. Годографы астатических систем

При , и (нулевые корни

отсутствуют) величина ошибки от возмущения в установившемся режиме равна

и может быть уменьшена путем увеличения за счет увеличения составляющей (но не !).

Если регулятор и объект – астатические, т.е.

,

,

то

.

При постоянном сигнале возмущения в соответствии с теоремами о начальном и конечном значениях

и

изображение возмущающего воздействия по Лапласу есть

,

а установившаяся ошибка от возмущающего воздействия в установившемся режиме

т.е. в замкнутой системе ошибка от возмущения в раз меньше, чем в разомкнутой.

Если регулятор статический

,

а объект астатический с астатизмом 1-го порядка

,

то ошибка от возмущающего воздействия

,

а ее установившийся оригинал при

,

т.е. установившаяся ошибка от возмущающего воздействия обратно пропорциональна коэффициенту передачи регулятора.

Если, наконец, регулятор астатический

,

а объект также астатический

,

то , т.е. статическая ошибка от возмущения отсутствует.

Коэффициенты ошибок. Если изображение внешнего воздействия представлено дробно-рациональной функцией от p, не имеющей кратных корней, то вынужденная составляющая ошибки может быть найдена как степенная функция (2.16΄). Расчет ее может быть значительно упрощен, если внешнее воздействие представлено степенным рядом. Расчет вынужденной составляющей ошибки в этом случае производится методом коэффициентов ошибки. Рассмотрим использование этого метода для случая, когда внешним воздействием является управляющее воздействие .

Если входное воздействие имеет произвольную форму, но имеет конечное число производных

то выражение для ошибки управления

можно разложить в ряд Тейлора по степеням комплексной величины :

.

Переходя в последнем выражении к оригиналу, получаем формулу для определения установившейся ошибки по управлению.

(4.31)

Коэффициенты

, ,

, …,

называются коэффициентами ошибок и определяются по общему разложению функции в ряд Тейлора по степеням :

– в статических системах коэффициент

– в астатических системах с астатизмом 1-го порядка , ;

– в астатических системах с астатизмом 2-го порядка , и т.д.

Пример 4.6. Определить коэффициенты ошибок по управляющему воздействию, если передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

.

Решение. Передаточная функция по ошибке

.

Определим коэффициенты ряда Тейлора.

,

,

.

Если управляющее воздействие меняется по закону

,

то установившаяся ошибка из выражения (4.31) будет иметь вид

.

При , , величина установившейся ошибки определяется выражением

,

из которого можно определить величину параметра a, обеспечивающую заданное минимальное значение установившейся ошибки:

.

■

Интегральные показатели качества не оценивают устойчивость, а лишь дают возможность сравнительной оценки качества двух процессов управления, т.е. их применяют для заведомо устойчивых процессов. При этом функции времени абсолютно интегрируемы, т.е. стремятся к нулю. Интегральные показатели качества – это функционалы, в которых роль независимой переменной играют функции времени , t  0

.

Функция F подбирается так, чтобы несобственный интеграл сходился, а значения J количественно характеризовали качество процессов . Интегральные показатели качества оценивают процессы в наиболее сжатом виде – кривой ставится в соответствие число, при этом большей сходимости процесса соответствует меньшее значение J для определенного t. В качестве интегральных показателей наиболее часто используются:

– линейный интегральный показатель;

– квадратичные интегральные показатели.

Линейный интегральный показатель качества определяется как площадь, ограниченная кривой процесса, определяемая интегралом

и показанная на рис. 4.36.

Рис. 4.36. Линейный интегральный показатель качества

Если процесс не меняет знака, то площадь под кривой тем меньше, чем быстрее затухает процесс.

Обобщениями линейного интегрального показателя являются моменты

, i = 0, 1, 2…,

для вычисления которых производится интегрирование «с весом»: ординаты при бóльших значениях t «стóят» больше. Моменты легко вычисляются по изображению переменной , если воспользоваться теоремой о дифференцировании изображения

.

В частности, при p = 0 получаем

.

Очевидно также, что

.

Недостатком линейного интегрального показателя и моментов является то, что они характеризуют только процессы, не меняющие знак.

Интегральный квадратичный показатель описывается выражением

и имеет тем меньшее значение, чем быстрее процесс приближается к идеальному, для которого I₀ = 0.

Использованием формулы обращения по Лапласу интегральный квадратичный показатель может быть представлен в виде

(в устойчивых системах абсцисса сходимости равна нулю). Поменяем порядок интегрирования

.

Под интегралом имеем произведение рациональных функций, для вычисления которого можно использовать известные формулы для конкретных степеней n полиномов знаменателей:

– n = 1

– n = 2

– n = 3

.

В общем случае для вычисления интегральных квадратичных показателей можно использовать алгоритм Некольны-Острема (Острем К. Введение в стохастическую теорию управления. – М.: Мир, 1973).

Если положить p = jω, то получим:

.

Это соотношение называется формулой Парсеваля. Она означает, что энергия движения процесса пропорциональна интегралу от квадрата модуля спектральной функции этого процесса.

Недостатком квадратичного показателя качества является игнорирование им колебательности процесса. Между тем системы с меньшим значением интегрального квадратичного показателя оказываются колебательными в большей степени.

Пример 4.7. Рассмотрим систему с отрицательной единичной обратной связью, передаточная функция разомкнутого контура которой есть

.

Передаточная функция замкнутой системы от задающего воздействия до переменной ошибки выглядит как

.

Изображение переменной ошибки Δ(p) при задании ступенчатого единичного воздействия есть

.

Выражение интегрального квадратичного показателя качества переходного процесса для n = 2 по приведенной выше формуле есть

.

Из полученной зависимости следует, что значение показателя качества уменьшается с увеличением коэффициента усиления контура; при k → ∞ .

Рассматриваемая система устойчива при любом k, т.к. коэффициенты характеристического полинома положительны (для n = 2 это является необходимым и достаточным условием). Однако стремление к уменьшению интегрального квадратичного показателя качества путем увеличения коэффициента усиления контура ведет к росту колебательности процесса.

В самом деле, выражение для колебательности корней μ (отношение абсолютных значений их мнимой и действительной частей), получаемое на основе выражения для вычисления корней характеристического полинома

есть

,

откуда следует, что с ростом k колебательность корней растет, а относительное затухание процессов уменьшается. При этом абсолютное затухание остается неизменным.

Такой результат имеет место потому, что экстремалью функционала является идеальный процесс, затухающий мгновенно. Стремление к такому процессу в реальной динамической системе и дает такой результат. ■

Для учета колебательности процесса интегральный квадратичный показатель дополняют взвешенным интегралом от квадрата производной функции времени

.

В результате получаем улучшенный интегральный квадратичный показатель. При колебательном процессе ординаты переменной становятся значительными и оказывают свое влияние на значение функционала I₁.

Улучшенная интегральная квадратичная оценка тем меньше, чем ближе процесс к некоторой экстремали , определяемой на основе следующих рассуждений. Преобразуем I₁ к виду

,

в котором второе слагаемое представим так

.

Здесь учтено, что , а .

Функционал I₁ достигает минимума, если первая составляющая равна нулю

,

т.е. если является решением дифференциального уравнения первого порядка при начальном условии , когда

.

Эта кривая – экстремаль функционала I₁ – приведена на рис. 4.37.

Рис. 4.37. Безусловная экстремаль улучшенного интегрального показателя

Максимальное значение функционала при типовом начальном условии равно

.

Чем лучше система управления в смысле показателя I₁, тем ближе к экспоненте с постоянной времени τ₁ процесс . Увеличение τ₁ при формировании показателя эквивалентно выбору системы с медленнее затухающими процессами, т.е. показатель I₁ пропагандирует в качестве эталонной систему управления первого порядка.

В системах высокого порядка процесс отличается от экспоненты на величину разности

,

имеющей смысл расстояния между кривыми и . По величине можно судить о величине расхождений между реальным процессом и экспонентой . Для этого определяются верхнее (мажоранта) и нижнее (миноранта) допустимые отклонения, в которые укладывается процесс, как показано на рис.4.38.

Оказывается, что для улучшенной интегральной квадратичной оценки величина u определяется из соотношения

.

Рис. 4.38. Мажоранта и миноранта процессов

Чем больше τ₁, тем уже полоса, в которую заключена оцениваемая кривая , однако тем больше и величина I₁. Поскольку , то

.

Задавая различные значения τ₁, можно добиться наилучшей оценки прямых показателей качества процесса через интегральный показатель качества .

Управляемость системы. Понятие управляемости используется при проверке условий разрешимости задачи синтеза для линейных систем, поведение которых описывают уравнения состояния.

Рассмотрим условие управляемости для общего класса объектов вида

(4.11)

Объект (4.11) называется управляемым, если существует ограниченное управляющее воздействие u(t), с помощью которого можно перевести его из начального состояния х(0) в заданное конечное х(Т) за конечное время Т.

Проверяется это условие с помощью критерия управляемости, его формулировку приведем без доказательства [1]. Объект (4.11) будет управляем тогда и только тогда, когда матрица управляемости

(4.12)

имеет полный ранг.

Так как матрица U имеет п строк и п×т столбцов, то критерий управляемости записывается в виде

(4.13)

Определить, имеет ли матрица полный ранг, можно по соотношению

(4.14)

которое легко проверить, например, с помощью пакета MATLAВ.

В случае одноканального объекта (когда m = 1) матрица управляемости будет квадратной и критерий (4.14) принимает форму

(4.15)

Отметим, что задача синтеза будет иметь решение, если объект управляем, т.е. условие управляемости является условием разрешимости задачи синтеза. Однако невыполнение условия (4.13) еще не означает, что такой объект нельзя стабилизировать. В случае, когда и объект (4.11) не полностью управляем, с помощью специального невырожденного преобразования переменных

его описание можно привести к канонической форме

(4.16)

Здесь переменные z₂ характеризуют автономную часть объекта, называемую неуправляемой.

Структурная схема такого объекта приведена на рис. 4.5.

Рис. 4.5. Структурная схема не полностью управляемого объекта

Здесь пунктиром выделена неуправляемая часть объекта, процессы в которой развиваются в силу собственных свойств. Изменить их с помощью управления невозможно, однако переменные z₂ влияют на управляемую часть и выходную переменную у. Если неуправляемая часть бу-дет неустойчива, то и весь объект будет не только неустойчивым, но и нестабилизируемым.

Таким образом, для не полностью управляемого объекта условием разрешимости задачи синтеза является требование устойчивости неуправляемой части.

Пример 4.8. Проверить управляемость объекта, поведение которого описывает следующая система дифференциальных уравнений:

Определим матрицы состояния и управления

,

Вычислим матрицы произведений

,

Составим матрицу управляемости

и найдем ее определитель , следовательно, объект управляем.

■

Наблюдаемость системы отражает возможность оценки переменных состояния объекта (4.11) по результатам измерения выходных переменных.

Объект называется наблюдаемым, если в любой момент времени можно оценить состояние х по данным измерения выходных переменных y(t) и управляющих воздействий u(t).

Условие проверяется с помощью критерия наблюдаемости, который приводится без доказательства [1, 3]. Объект (4.11) наблюдаем тогда и только тогда, когда матрица наблюдаемости

(4.17)

имеет полный ранг, т. е

(4.18)

Это условие можно проверить по соотношению

(4.19)

В случае одноканального объекта критерий наблюдаемости (4.19) принимает вид

(4.20)

Задача синтеза будет иметь решение, если объект наблюдаем, т. е. условие наблюдаемости также является условием разрешимости задачи синтеза.

В случае, когда , т. е. объект (4.14) не полностью наблюдаем, существует невырожденное преобразование переменных

которое позволяет уравнения (4.11) записать в форме

Здесь переменные z₂ характеризуют ненаблюдаемую часть объекта, структурная схема которого приведена на рис. 4.6.

Рис. 4.6. Структурная схема не полностью наблюдаемого объекта

На схеме пунктиром выделена ненаблюдаемая часть. Если она неустойчива, то стабилизировать объект нельзя. Следовательно, в этом случае условие разрешимости задачи синтеза – устойчивость ненаблюдаемой части объекта.

Пример 4.9. Проверить наблюдаемость объекта управления «каретка - маятник», схематичная модель которого изображена на рис. 4.7.

Рис. 4.7. Схема неустойчивого маятника

Здесь φ – угол отклонения маятника, U – входная переменная (сила управляющего двигателя), m₁, – масса каретки, т₂ – масса маятника, L – расстояние между осью и центром тяжести маятника, J – момент инерции относительно центра тяжести, g - ускорение силы тяжести, Н и Y – горизонтальная и вертикальная силы реакции оси маятника.

Упрощенная модель объекта «каретка – маятник» может быть представлена системой дифференциальных уравнений

где  эффективная длина маятника.

Приняв в качестве компонент вектора состояния величины

х₁ = s , x₂=s', x₃ = s + с^-1φ, x₄=s' + с^-1φ',

а в качестве выходной переменной - угол отклонения маятника (у = φ), можем записать систему уравнений состояния в форме Коши

Отсюда матрицы объекта могут быть представлены в виде

Составим матрицу наблюдаемости

и определим ее детерминант. Так как det n = 0 объект «каретка – маятник» является ненаблюдаемым.