4.4. Чувствительность систем управления

Понятие чувствительности. До сих пор воздействия на систему рассматривались как сигналы, преобразуемые операторами звеньев системы, моделирующих объект. Однако влияние среды на систему может быть описано также в форме изменения самих операторов преобразования. В терминах моделей наличие таких преобразований приводит к нестационарным системам, представляемым в форме дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Системы, в которых изменения операторов во времени происходят много медленнее собственных и вынужденных процессов, называются квазистационарными. Для таких систем можно рассматривать множество стационарных моделей, различающихся значениями параметров или даже структурой операторов.

Для систем управления важным является малая зависимость свойств системы в целом (например, потеря устойчивости) от малых вариаций операторов звеньев. Другими словами, система должна быть грубой (робастной), инвариантной к возмущениям и устойчивой.

Чувствительность количественно характеризует влияние малых изменений свойств элементов на свойства системы. К разновидностям изменений свойств элементов относят:

– изменения параметров системы (чувствительность к изменениям параметров);

– вариации параметров звеньев систем с раскрытой структурой (неструктурированные вариации) (использование методов структурной теории чувствительности;

– чувствительность передаточных функций (влияние свойств звеньев на условия инвариантности и ковариантности) и характеристических полиномов (условия устойчивости и характер переходных процессов).

Чувствительность передаточных функций. Абсолютная чувствительность передаточной функции к вариациям передаточной функции звена определяется как частная производная

.

Эта функция комплексного аргумента p позволяет найти в первом приближении вариацию передаточной функции системы по известной вариации передаточной функции звена

.

Относительная чувствительность отражает связь между относительными вариациями передаточных функций звена и системы

.

Отсюда следует, что абсолютная и относительная чувствительности связаны между собой соотношением

.

Функции чувствительности – рациональные функции комплексного аргумента. Величиной такой функции является ее модуль. При подстановке по функции чувствительности можно найти вариацию амплитудных частотных характеристик. В частном случае при p = 0 в приведенных выше соотношениях фигурируют действительные числа – коэффициенты усиления.

Последовательное соединение звеньев. Передаточная функция последовательного соединения звеньев равна произведению передаточных функций звеньев

.

При изменении характеристик первого звена

передаточная функция запишется как

. (4.27)

Взяв от выражения (4.27) производную по

,

получаем, что абсолютная функция чувствительности будет иметь вид

,

а относительная чувствительность определяется как

.

Аналогичный результат имеет место и относительно W₂.

Таким образом, относительная чувствительность последовательного соединения к любому из звеньев равна 1, т.е. изменение модуля передаточной функции или амплитудной частотной характеристики любого из звеньев производит пропорциональное изменение этих характеристик для системы в целом. Из этого следует, что изменение относительной чувствительности системы за счет последовательного включения звеньев либо удаления звеньев из последовательной цепочки невозможно.

Параллельное соединение звеньев. Передаточная функция параллельного соединения звеньев равна сумме передаточных функций звеньев

.

При изменении параметров первого звена

.

При этом передаточная функция системы приобретает вид

.

Отсюда следует, что абсолютная функция чувствительности для этой структуры

всегда равна единице

.

Выражение для относительной чувствительности находится по формуле

.

Чем больше модуль передаточной функции варьируемого звена, тем

больше относительная чувствительность (т.е. вклад звена в передачу системы в целом). Если

,

то ; если

,

то .

Уменьшить чувствительность передачи системы к вариациям звена можно увеличением усиления параллельного неварьируемого звена.

Соединение с обратной связью. Передаточная функция системы с отрицательной обратной связью есть

.

При варьировании передачи звена прямой передачи

абсолютная функция чувствительности находится дифференцированием Ф(W₁)

, (4.25)

а относительная чувствительность равна отношению передаточной функции системы к передаточной функции варьируемого звена

.

Из выражения (4.25) следует, что использование обратной связи позволяет существенно изменять относительную чувствительность. При повышении усиления контура за счет любого из звеньев относительная чувствительность системы с обратной связью уменьшается. Отрицательная обратная связь также существенно уменьшает влияние вариаций параметров в прямом пути на передачу всего соединения, если усиление контура велико. Поскольку объект управления находится в прямом пути, то повышение усиления контура при стабильной обратной связи уменьшает чувствительность передачи по каналу воспроизведения задающего воздействия.

Поскольку усиление контура на различных частотах неодинаково, то обратная связь уменьшает чувствительность только на интервалах частот с большим усилением (на интервалах с малым усилением относительная чувствительность замкнутой системы близка к единице).

Ранее мы установили, что большое усиление контура делает систему с обратной связью инвариантной к сигнальному возмущению, одновременно ослабляется и влияние параметрических воздействий среды (в этом и состоит универсальность обратной связи).

Пусть теперь изменяются характеристики звена обратной связи

.

Абсолютная функция чувствительности передаточной функции системы к вариациям звена есть

.

Относительная чувствительность определяется как

(4.26)

и равна произведению передаточных функций системы и варьируемого звена с обратным знаком

.

При повышении усиления контура относительная чувствительность увеличивается:

.

Чувствительность систем со сложной структурой. Для таких систем анализ чувствительности производится частотным методом структурной теории чувствительности. Суть этого метода состоит в следующем.

Относительные функции чувствительности системы к неструктурированным вариациям звеньев могут быть определены как передаточные функции некоторой преобразованной системы. Преобразования сводятся к введению в графы единичных дуг, называемых диполями чувствительности. Их положение в графе зависит от позиции варьируемой дуги. Дуга находится в позиции 1, если принадлежит некоторому пути, в положении 2, если принадлежит контурам, соприкасающимся с путем, но в путь не входит и в положении 3, если дуга входит в контуры, не соприкасающиеся с путем. Введение диполя чувствительности в дугу означает последовательное соединение диполя с варьируемой дугой (подразбиение варьируемой дуги). Если варьируемая дуга имеет позицию 1, то функция чувствительности равна передаточной функции графа от вершины-входа диполя чувствительности, вложенного в эту дугу, до ее вершины-выхода

Рассмотрим введение диполей чувствительности в сигнальный граф системы, приведенный на рис. 4.28.

Рис. 4.28. Сигнальный граф системы управления

Найдем выражение функций чувствительности системы к дуге , имеющей позицию 1 по отношению к пути от вершины f к вершине y. Для этого отбрасываем все пути, кроме прямых (рис.4.29).

Рис. 4.29. Графы с диполями чувствительности: а – прямым; б – обратным

Вложим диполь чувствительности a и вычислим передаточную функцию от входа до выхода диполя

.

Тогда абсолютная функция чувствительности определится путем дифференцирования , т.е.

,

а относительная – по выражению (4.26).

Для дуги, находящейся в позиции 2 к прямому пути, функция чувствительности системы равна передаточной функции от вершины-выхода до вершины-входа единичной дуги (обратный диполь чувствительности). Для рассматриваемой системы передаточная функция от выхода до входа есть

,

тогда чувствительность к дуге W₂ (рис. 4.26, б) имеет вид

.