Для устойчивых (а) и неустойчивых (б) систем

,

где и – полиномы степеней m и n соответственно, тогда передаточная функция замкнутой системы может быть представлена в виде

.

Характеристический полином замкнутой системы можно представить в виде суммы и вначале построить годографы и , а затем и сложить их графически. Если (коэффициент усиления системы), то годограф получается из годографа путем смещения его вправо вдоль вещественной оси на величину k.

Пример 4.6. Определить предельный коэффициент усиления системы с передаточной функцией в разомкнутом состоянии

,

состоящей из трех инерционных звеньев.

Решение. Характеристическое уравнение замкнутой системы есть

.

Для решения задачи необходимо построить годограф Михайлова. Поскольку , построим сначала годограф разомкнутой системы

,

где

(4.12)

Он показан на рис. 4.12.

Рис. 4.12. Годограф системы

Для получения годографа замкнутой системы достаточно сместить мнимую ось влево на величину k. При k = k_пред система будет на границе устойчивости (годограф пройдет через начало координат). Величина k_пред может быть определена из системы уравнений

(4.13)

где - частота, соответствующая точке пересечения годографа с действительной осью. Из уравнений (4.12) и (4.13) , получим

;

.

▄

Критерий Найквиста также основан на анализе частотных характеристик и удовлетворение этому критерию является необходимым и достаточным условием устойчивости систем с обратной связью. Он оценивает устойчивость замкнутой системы по характеристикам разомкнутой системы.

Рассмотрим одноконтурную систему с передаточной функцией разомкнутого контура . Рациональная функция

,

называется возвратной разностью и представляет собой определитель одноконтурного сигнального графа с отрицательной обратной связью.

Легко увидеть, что

, (4.14)

т.е. возвратная разность равна отношению характеристических полиномов замкнутой и разомкнутой систем. Нулями являются корни характеристического полинома замкнутой системы, а полюсами – корни характеристического полинома разомкнутой системы .

Пусть C – произвольный замкнутый контур без самопересечений на p-плоскости p, а - рациональная функция аргумента p, не имеющая на контуре C ни нулей, ни полюсов. Разность между количеством нулей и полюсов функции , заключенных внутри замкнутой кривой C, равна числу полных оборотов вектора вокруг начала координат, в то время как точка p обходит контур C по часовой стрелке. В качестве контура C, как и ранее, выбирается мнимая ось и правая полуокружность бесконечного радиуса.

Ранее было установлено, что если разомкнутая система устойчива, то изменение аргумента ее характеристического полинома равно

(4.15)

Тогда замкнутая система сохранит устойчивость, если

,

или с учетом (4.14)

(4.16)

Последнее тождество будет иметь место, если кривая при движении вдоль контура C по часовой стрелке не будет охватывать начала координат p-плоскости, т.е. точки (0, j0), как показано на рис. 4.13.

Рис. 4.13. Годограф замкнутой системы

Переместив мнимую ось на единицу вправо получим формулировку критерия Найквиста для случая устойчивой разомкнутой системы:

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика (годограф) разомкнутой системы при движении p вдоль C по часовой стрелке не охватывала точку (–1, j0).

На рис. 4.13, а показан случай устойчивой замкнутой системы, которая устойчива в разомкнутом состоянии.

Рис. 4.13. Иллюстрация критерия Найквиста

Если годограф проходит через критическую точку (–1, j0) на частоте , то пара корней характеристического полинома замкнутой системы окажется чисто мнимой . Этот случай называется колебательной границей устойчивости (рис. 4.13, б).

Из предыдущего рассмотрения видно, что рациональные функции и имеют одни и те же полюсы. Если среди них имеется l правых, т.е. разомкнутая система неустойчива, то для нее применение принципа аргумента (4.15) выражается так:

,

а тождество (4.16) приобретает вид

.

В силу симметричности характеристик

можно ограничиться рассмотрением только случая , , т.е. половины контура C на комплексной плоскости и записать последнее тождество в виде

и сформулировать критерий Найквиста для случая неустойчивой разомкнутой системы следующим образом:

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы охватывала точку (–1, j0) раз против часовой стрелки, где l – число правых корней характеристического полинома (правых полюсов передаточной функции) разомкнутой системы.

Пример 4.7. Пусть передаточная функция разомкнутой системы есть

,

т.е. имеет один правый полюс (разомкнутая система неустойчива). Для устойчивости замкнутой системы АФХ при изменении ω от нуля до ∞ должна ½ раза охватить точку (–1, j0) против часовой стрелки (рис. 4.14).

Из рис. 4.14 видно, что это возможно при k > 1 (замкнутая система устойчива при k = k₁ и неустойчива при k = k₂). Для перемещения корня из правой полуплоскости в левую необходимо достаточно большое усиление контура.

■

Рис. 4.14. Пример применения критерия Найквиста

Для систем высокого порядка амплитудно-фазовая характеристика может иметь сложный вид, затрудняющий подсчет числа охватов критической точки. В этом случае для упрощения рекомендуется считать число переходов АФП через луч (–∞, –1) (переход снизу вверх – отрицательный, сверху вниз – положительный). Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы сумма переходов равнялась бы + p/2, где p – число правых полюсов передаточной функции разомкнутой системы. Особенно удобно применение критерия Найквиста, если строятся логарифмические частотные характеристики:

.

Если передаточная функция разомкнутой системы имеет p правых полюсов, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы в интервале частот, где L_p > 0, число переходов через линию − равнялось бы p/2 (переход снизу вверх – положительный, сверху вниз – отрицательный).

Критерий Найквиста – физичен: здесь хорошо видна роль амплитудных и фазовых преобразований, вносимых контуром, на устойчивость системы в целом. Изначальный смысл применения критерия Найквиста состоит в выявлении роли контура в перемещении корней характеристического полинома системы. По этому критерию можно судить о влиянии свойств элементов на характер свободных движений системы в целом.

Практически важным является также возможность исследования устойчивости систем с обратными связями на основе экспериментально снятых частотных характеристик звеньев, образующих контур.

Устойчивость систем, описываемых переменными состояния. Если система представлена сигнальным графом в переменных состояния, то определитель этого графа совпадает с характеристическим полиномом, к которому можно применить известные критерии устойчивости.

Однако модель может быть задана совокупностью дифференциальных уравнений относительно переменных состояния. В этом случае удобно изобразить альтернативную модель в виде сигнального графа, по которому легко записать его определитель , а, значит и характеристическое уравнение.

Пример 4.8. Пусть система описывается двумя дифференциальными уравнениями первого порядка

,

,

где – входной сигнал.

Соответствующая этой системе уравнений модель приведена на рис . 4.17.

Рис. 4.17. Сигнальный граф

Граф содержит три контура: , и , причем и не имеют общего узла. Тогда, согласно правилу Мейсона, определитель графа есть

.

Умножив на p², получим характеристическое уравнение

.

Поскольку для устойчивости системы все коэффициенты уравнения должны быть положительны, то требование по устойчивости может быть представлено в виде условия .

■

Суть рассмотренного метода получения характеристического уравнения непосредственно по векторному дифференциальному уравнению

(4.16)

состоит в том, что поскольку решение такого уравнения представляет собой экспоненту, то можно найти такие , при которых решение для каждой переменной состояния будет иметь вид

,

при этом

.

Подставив последнее выражение в (4.16), получим:

или

,

откуда следует система однородных уравнений

,

где E – единичная, а 0 – нулевая матрица. Нетривиальное решение этой системы существует, только если обращается в нуль определитель матрицы , т.е. если

.

Раскрывая определитель, получаем уравнение n-го порядка, которое и является характеристическим уравнением системы.

Устойчивость систем с типовой структурой. Рассмотрим системы, образованные соединениями типовых звеньев, и определение их

асимптотической устойчивости по начальному состоянию.

Системы без контуров. Характеристический полином параллельного и последовательного соединений звеньев равен произведению характеристических полиномов звеньев

.

Отсюда следует, что необходимым и достаточным условием устойчивости параллельного и последовательного соединений звеньев является устойчивость каждого из звеньев, составляющих систему.

Одноконтурные системы. Характеристический полином системы,

образованной встречно-параллельным соединением звеньев, есть

.

Если система имеет в прямом и обратном пути некоторые (произвольные) множества звеньев с передаточными функциями

,

то характеристический полином записывается в виде суммы

(4.17)

полиномов числителя

и знаменателя

передаточной функции разомкнутой системы

.

В общем случае без предварительных вычислений о расположении корней полинома (4.17) ничего сказать нельзя. Поэтому необходимо вычислить корни , либо применить некоторый критерий устойчивости. Однако есть два практически важных случая, когда информацию о расположении корней можно получить при минимуме вычислений.

1. Если полиномы и имеют нетривиальный общий делитель – полином , т.е. передаточная функция разомкнутой системы W_р имеет диполи, то при замыкании системы соответствующие корни характеристического полинома не перемещаются, поскольку из выражения

следует, что корни являются также и корнями . Таким образом, для устойчивости системы с обратной связью необходимо выполнение условия: все корни полинома

левые. Отсюда следует также условие неустойчивости: наличие у полиномов и общего делителя с правым корнем.

Как было показано выше, наличие общих корней у полиномов числителя и знаменателя передаточной функции соответствует неполной системе. При замыкании неполная часть своих свойств не изменяет.

2. Если, при обходе аргументом p замкнутого контура С выполняется условие

(4.18)

или при изменении частоты в интервале от 0 до ∞

, (4.19)

то характеристический полином замкнутой системы имеет в правой полуплоскости столько же корней, что и характеристический поли-

ном разомкнутой системы , т.е. если разомкнутая система устойчива, то замкнутая система также будет устойчивой.

Выберем в качестве замкнутой кривой C кривую, образованную мнимой осью и правой относительно нее полуокружностью бесконечного радиуса (контур Найквиста), показанную на рис. 4.18. Из (4.18), (4.19)

Рис. 4.18. Контур Найквиста

следует, что для устойчивости замкнутой системы, устойчивой в разомкнутом состоянии, достаточно, чтобы

,

т.е. чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы

принадлежала единичному кругу с центром в начале координат (рис. 4.19).

Рис. 4.19. Амплитудно-фазовая характеристика

Запасы устойчивости. Изменение параметров систем управления (в

частности, коэффициентов усиления и запаздываний) в процессе их эксплуатации может вызвать их неустойчивость. Поэтому при проектировании систем необходимо обеспечить гарантированную устойчивость систем при изменении параметров в некоторых пределах. Такое проектирование базируется на понятиях запасов устойчивости систем управления, вводимых на основе критерия Найквиста.

Запасы устойчивости характеризуют удаление частотного годографа (годографа Найквиста) разомкнутой системы от критической точки с координатами (–1, j0). Если амплитудно-частотная характеристика на частоте проходит через точку (–1, j0), то характеристический полином имеет пару мнимых корней и система будет неустойчивой. Если годограф проходит на некотором удалении от критической точки, то система будет иметь некоторый запас устойчивости.

Для количественной оценки удаленности годографа от точки (–1, j0), а, значит, и левых корней полинома от мнимой оси, используется понятие запаса устойчивости по модулю (амплитуде) и запаса устойчивости по фазе.

Запас устойчивости по модулю (усилению) есть отношение предельного коэффициента усиления системы к коэффициенту усиления в исследуемом состоянии. Он показывает, насколько можно увеличить модуль амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы без потери устойчивости замкнутой системы.

Типовая амплитудно-фазовая характеристика устойчивой по модулю разомкнутой системы, которая будет устойчивой и после замыкания контура, приведена на рис. 4.20, а.

Запас устойчивости по модулю β определяется как отношение

,

где – частота пересечения годографа разомкнутой системы с вещественной осью.

Рис. 4.20. К оценке запаса устойчивости по годографу разомкнутой системы:

а – по модулю, б – по фазе

Согласно критерию Найквиста это отношение обратно пропорционально отрезку 0А (см. рис. 4.20, а) на отрицательной действительной полуоси

,

где – частота, на которой фазовый сдвиг, вносимый контуром, равен –π радиан. Для устойчивых систем β > 1, для систем на границе устойчивости β = 1 ( = –1). Обычно β = 2…10.

Запас устойчивости по фазе (рис. 4.20, б) определяется как

,

где – частота среза, на которой модуль амплитудно-фазовой характеристики разомкнутого контура равен 1. Он измеряется по дуге окружности единичного радиуса с центром в начале координат между точкой с координатами (–1, j0) и ближайшей к ней точкой частотного годографа. Частота пересечения годографа есть частота среза , на этой частоте . Для неустойчивой системы запас по фазе считается отрицательным. Запас устойчивости по фазе обычно составляет величину .

Запасы устойчивости удобно изображать в логарифмическом масштабе, как показано на рис. 4.21. При этом запас по модулю определяется как

,

а запас по фазе определяется на частоте , на которой , как по

казано на рис. 4.21. Величины и положительны для устойчивых и отрицательны – для неустойчивых систем.

а б

Рис. 4.21. Запасы устойчивости по модулю и фазе, определяемые по логарифмическим частотным характеристикам:

а – устойчивая система, б – неустойчивая система

Частота среза также является косвенным показателем качества процессов. Она приближенно равна мнимой части доминирующих комплексных корней (частоте колебаний процессов). Если предположить, что за время регулирования в системе имеет место 1…2 колебания, то

.