Некоторые координаты отображения единичного квадрата с помощью функции

	A	B	C	D
	2	2	0	0
	1	–1	–1	1

Построение отображения единичного квадрата на комплексной плоскости в координатах и (на -плоскости) показано на рис. 4.6.

Рис. 4.6. Отображение единичного квадратного контура с помощью функции

Оно (отображение) представляет собой также квадрат, но со стороной, вдвое большей стороны исходного квадрата, и сдвинутый вправо на единицу. Полученное отображение является конформным, т.е. оно повторяет исходный контур по форме, но в некотором другом масштабе по осям и с некоторым сдвигом. При этом замкнутый контур отображается замкнутым контуром, а направление обхода исходного контура сохраняется в отображении.

Построенный контур:

− не охватывает полюс , показанный на рис. 4.5 кружком;

− при движении по часовой стрелке охватывает начало координат один раз.

Если отображающая дробно-рациональная функция – другая, например,

с нулем и полюсом , то отображение единичного квадрата

на – плоскости будет также другим:

.

Некоторые значения функции отображения единичного квадрата для последнего выражения приведены в табл. 4.2.

Таблица 4.2

Некоторые координаты отображения единичного квадрата с помощью функции

	A	B	C	D
σ	0.5	0.5	– 0.5	– 0.5
ω	0.5	– 0.5	– 0.5	0.5
u
v

Графическое представление этого отображения приведено на рис. 4.7.

Рис. 4.7 . Отображение квадратного единичного контура с помощью функции

Построенный контур охватывает нуль отображающей функции , но не охватывает полюс .

▄

В общем случае любая дробно-рациональная функция с конечным числом нулей и полюсов может быть представлена в виде

,

где z_i – нули, а p_j – полюсы функции . Рассматривая в качестве характеристического полинома разомкнутой системы, т.е. полагая , из (4.10), (4.11) и последнего выражения получим, что

и, следовательно, полюсы совпадают с полюсами .

Охваты полюсов и нулей функции на -плоскости обычно связываются с охватом начала координат -плоскости при помощи теоремы Коши, называемой принципом аргумента: если контур на -плоскости при движении по нему по часовой стрелке охватывает Z нулей и P полюсов функции , то соответствующий контур на -плоскости охватывает начало координат раз.

Для рассмотренных выше примеров имеем

и

.

Теорему Коши легче понять, если рассматривать изменение аргумента функции при движении по контуру в направлении по часовой стрелке. Рассмотрим в качестве примера функцию

,

где – нули, а – полюсы.

Это выражение можно представить в полярных координатах в виде

Выберем на -плоскости некоторый контур , как показано на рис. 4.8, а.

Рис. 4.8. Вычисление изменения аргумента:

а – контур на p-плоскости, б – контур на -плоскости

Определим изменение аргумента каждого вектора при изменении переменной p вдоль этого контура. Ясно, что суммарное изменение каждого аргумента при полном обходе контура будет равно нулю. Однако при этом векторы, соответствующие внешним по отношению к контуру нулям р₁ , р₂ и полюсу z₂, повернутся на некоторый угол и возвратятся в начальное состояние, а вектор, соответствующий нулю z₁ (он находится внутри контура !) совершит полный оборот (результирующее изменение аргумента будет равно 360˚).

Если бы внутри контура находилось Z нулей, то результирующее изменение аргумента было бы равно радиан, а если бы Z нулей и P полюсов – то радиан. Поскольку на -плоскости вектор , конец которого находится на контуре , повернется на угол или (рис. 4.8, б), то число охватов вектором начала координат будет равно . Для - и -контуров, приведенных на рис. 4.9, число охватов равно

.

Рис. 4.9. Соответствие числа нулей и полюсов числу охватов начала координат

Таким образом, характер размещения нулей и полюсов на p-плоскости функции здесь определяется характером изменения аргумента этой функции на -плоскости.

Критерий Михайлова. Применение принципа аргумента к характеристическому полиному A(p) разомкнутой системы при использовании в качестве контура мнимой оси (p = jω), замкнутой полуокружностью бесконечного радиуса определяет критерий Михайлова. Он позволяет судить об устойчивости замкнутой системы управления по ее характеристическому полиному.

Пусть дан характеристический полином разомкнутой системы

.

Представим его в виде

,

где p_i – корни полинома .

Положим теперь , тогда

.

Рассмотрим графическое представление сомножителей на комплексной плоскости, показанное на рис. 4.10 .

Рис. 4.10. Графическое представление комплексных чисел

Начала векторов находятся в точках p_i, а концы – на мнимой оси в точке jω.

Аргумент комплексного числа A(jω) равен

,

а его изменение с изменением ω от – ∞ до ∞ есть

.

Для определения изменения аргумента необходимо подсчитать сумму изменений аргументов двучленов . Значения слагаемых этой суммы определяется в зависимости от расположения корней . Если корень лежит в левой полуплоскости, то при изменении ω от – ∞ до ∞ конец вектора скользит вдоль мнимой оси снизу вверх, поворачиваясь против часовой стрелки на 180˚ (см. рис. 4.10), при этом изменение аргумента равно

.

Если корень лежит в правой полуплоскости, то при изменении ω от – ∞ до ∞ конец вектора скользит вдоль мнимой оси сверху вниз, поворачиваясь по часовой стрелке на –180˚, при этом изменение аргумента равно

.

Если уравнение из своих n корней имеет l корней в правой полуплоскости и n – l корней в левой полуплоскости, то

.

Последнее выражение и есть запись принципа аргумента для характеристического полинома .

Для устойчивости системы управления необходимо и достаточно, чтобы число правых корней l было равно нулю, при этом

и аргумент с увеличением будет монотонно возрастать.

Графическим представлением критерия устойчивости Михайлова является годограф Михайлова. Для устойчивости системы управления необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического полинома , начинаясь при ω = 0 на действительной оси, с ростом ω до ∞ обходил последовательно в положительном направлении n квадрантов, где n – порядок характеристического полинома.

Примеры годографов Михайлова для устойчивых систем приведены на рис. 4.11, а, неустойчивых – на рис. 4.11, б.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы равна

Рис. 4.11. Примеры годографов Михайлова