Типового дифференцирующего звена

Амплитудная и фазовая частотные характеристики совпадают с рис. 3.34 и 3.35 соответственно.

Логарифмическая амплитудная характеристика определяется выражением

.

Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики типового дифференцирующего звена приведены на рис. 3.47.

Рис. 3.47. Логарифмические амплитудная и фазовая

Частотные характеристики типового дифференцирующего звена

– фазовая частотная характеристика

,

а ее графическое представление совпадает с рис. 3.36.

Примером идеализированного дифференцирующего звена является RC-цепь при R = 0, показанная на рис 3.48.

Рис. 3.48. Дифференцирующая цепь

Уравнение связи выхода с входом для этой цепи при нулевых начальных условиях есть

,

т.е. совпадает по форме с (3.27) при .

2. Типовое идеальное интегрирующее звено:

– частотная передаточная функция

,

– амплитудная частотная характеристика

,

а ее графическое изображение совпадает с рис 3.42.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика интегрирующего звена есть

.

Ее графическое представление приведено на рис. 3.49.

Фазовая частотная характеристика описывается выражением

Рис. 3.49. Логарифмические частотная и фазовая характеристики

Интегрирующего звена

.

Примером реализации идеального интегрирующего звена может служить RL-цепь при R = 0, показанная на рис. 3.50.

;

Рис. 3.50. Пример реализации интегрирующего звена

Для этой цепи при нулевых начальных условиях

,

где (1/Гн) – коэффициент передачи. Как видно, последнее выражение по структуре совпадает с (3.28).

Апериодическое (инерционное) звено. Апериодическое (инерционное) звено – реальное инерционное звено, выходной сигнал которого пропорционален разности входного сигнала и накопившейся энергии выходного сигнала.

Дифференциальное уравнение, описывающее это звено, выглядит так

, (3.29)

где k – коэффициент передачи (усиления), T – постоянная времени (инерционности), измеряемая в секундах.

Выражение для передаточной функции может быть получено на основе представления структурной операторной схемы апериодического звена с помощью элементарных звеньев. Представим уравнение (3.29) в виде

,

или в операторной форме

. (3.30)

Выражению (3.30) соответствует операторная схема, приведенная на рис. 3.51.

Рис. 3.51. Операторная структурная схема апериодического звена

Рассматривая схему на рис. 3.51 как одноконтурную систему управления с обратной связью, получим передаточную функцию апериодического звена как передаточную функцию такой системы. Для этого отмечаем, что:

– передаточная функция прямого пути равна ;

– передаточная функция пути обратной связи есть .

Тогда передаточная функция замкнутой системы есть

. (3.31)

Выше было отмечено, что временные характеристики соединения звеньев с обратной связью удобнее получать с помощью обратного преобразования Лапласа эквивалентной передаточной функции. Операторное изображение переходной функции апериодического звена, полученное на основе выражения (3.31), имеет вид

. (3.32)

Оригинал переходной функции из (3.32) есть

.

Переходная функция апериодического звена приведена на рис. 3.52.

Рис. 3.52. Переходная функция апериодического звена

Из рис. 3.52 следует, что с уменьшением T переходной процесс будет заканчиваться быстрее.

Импульсная переходная (весовая) функция есть производная переходной функции:

.

Вид этой функции иллюстрируется рис. 3.53.

Рис. 3.53. Импульсная переходная функция апериодического звена

Частотная передаточная функция соединения звена

. (3.33)

Представление передаточной функции апериодического звена в виде суммы вещественной и мнимой частей есть

.

Напомним, что разделение передаточной функции на вещественную и мнимую части производится умножением числителя и знаменателя на число, комплексно-сопряженное знаменателю, в данном случае на .

Действительная частотная характеристика для апериодического звена есть

,

а мнимая частотная характеристика есть

.

График частотной характеристики апериодического звена в обычном масштабе приведен на рис. 3.54. Она представляет собой полуокружность радиуса k/2.

Рис. 3.54. Амплитудно-фазовая характеристика апериодического звена

Амплитудная частотная характеристика апериодического звена имеет вид

.

Она приведена на рис. 3.55.

Рис. 3.55. Амплитудная частотная характеристика апериодического звена

Фазовая частотная характеристика апериодического звена выражается следующим образом:

.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика определяется выражением

или

Построение асимптотической логарифмической амплитудной характеристики производится на основе следующего анализа.

1. При малых частотах, где , вторым слагаемым пренебрегаем ( ), поэтому

.

2. При больших частотах, где , пренебрегаем первым слагаемым, тогда

.

3. В области средних частот , отсюда определяем частоту сопряжения низкочастотной и высокочастотной составляющей (собственную частоту апериодического звена): , где  собственная частота апериодического звена.

Теперь построим логарифмическую фазовую частотную характеристику. Из выражения

следует, что при , при , а при

Расчетные логарифмическая амплитудная и фазовая частотные характеристики при приведены на рис. 3.56.

Рис. 3.56. Логарифмические амплитудная и фазовая характеристики