3.3. Передаточные функции систем

Определения передаточных функций. Системный подход предполагает рассмотрение любого объекта с системных позиций, т.е. как элемента системы более высокого уровня. Это дает возможность единого подхода к представлению систем любой сложности. Пусть, например, имеем некоторую систему управления со структурой, изображенной на рис. 3.15 .

Рис. 3.15. Структурная схема замкнутой системы

Рассматривая ее как некоторый, определенным образом организованный набор элементов и представляя каждый из этих элементов соответствующей передаточной функцией, схему замкнутой системы управления можно изобразить, так как показано на рис.3.16.

Непосредственно из структурной схемы можно записать передаточные функции для объекта управления

– по регулирующему (управляющему) воздействию

;

– по возмущению

.

Рис.3.16. Операторное представление структурной схемы системы

Аналогично запишем передаточные функции для других элементов схемы:

– логико-вычислительной подсистемы

;

– исполнительной подсистемы

;

– цепи обратной связи (информационно-измерительной подсистемы)

.

На основании схемы (см. рис. 3.16) и выражений для передаточных функций элементов составим систему уравнений:

. (3.18)

Передаточная функция прямого пути есть

W_п(p) = W₁(p)W₂(p)W₀(p),

а характеристический полином системы (3.18) по определению в соответствии с рис. 3.16 равен

. (3.19)

Управляемая величина в разомкнутой системе определяется суммой выходного сигнала объекта и звена (условного) ошибки

Тогда при замыкании контура управляемая переменная определится как

(3.20)

Передаточная функция

(3.20, а)

называется передаточной функцией замкнутой системы по задающему (регулирующему) воздействию.

Передаточная функция

называется передаточной функцией разомкнутой системы.

Передаточная функция

называется передаточной функцией замкнутой системы по возмущению.

Из рис. 3.16 видно, что ошибка регулирования в разомкнутой системе может быть определена алгебраической суммой сигналов входного управляющего воздействия и обратной связи

Тогда при замыкании контура значение ошибки будет определяться как

(3.21)

Передаточная функция

(3.21, а)

называется передаточной функцией замкнутой системы по ошибке от задающего воздействия.

Передаточная функция

называется передаточной функцией замкнутой системы по ошибке от возмущающего воздействия.

Нетрудно видеть, что при единичной обратной связи, т.е. при W_oc(p) = 1, для соотношений (3.20, а) и (3.21, а) выполняется равенство

(3.22)

3.4. Типовые звенья систем управления

Понятие элементарных и типовых звеньев. Ранее было показано, что передаточные функции (модели) стационарных линейных систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, являются дробно-рациональными функциями, т.е. отношениями полиномов с действительными коэффициентами. Такие полиномы имеют только действительные или комплексно-сопряженные корни. Из курса математики известно, что полином такого вида может быть разложен по виду корней в произведение многочленов с нулевыми ( ), действительными ( ) и комплексно-сопряженными ( ) корнями. Тогда передаточная функция системы может быть представлена в виде

. (3.23)

Каждому виду сомножителей этого выражения соответствует некоторое линейное стационарное звено, передаточной функцией которого является данный сомножитель. Из (3.23) следует, что для построения модели системы управления с любой заранее заданной передаточной функцией достаточно иметь шесть типов звеньев, наименования и передаточные функции которых приведены ниже:

– идеальное дифференцирующее звено с передаточной функцией ;

– идеальное интегрирующее звено с передаточной функцией ;

– форсирующее звено первого порядка с передаточной функцией , где ;

– апериодическое (инерционное) звено первого порядка с передаточной функцией , где ;

– форсирующее звено второго порядка с передаточной функцией ;

– апериодическое (инерционное) звено второго порядка с передаточной функцией ;

Из приведенного перечня видно, что , , . Вследствие этого логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики первых трех звеньев отличаются от соответствующих характеристик последних трех звеньев только знаками. Поэтому достаточно рассмотреть первую либо последнюю тройку этих звеньев.

Однако реальные стационарные линейные системы отличаются от моделей еще двумя важными свойствам, не описываемым передаточной функцией (3.23) – усилением и инерционностью. Моделью первого свойства служит пропорциональное звено с передаточной функцией , моделью второго  звено чистого запаздывания (идеальное запаздывающее звено) с передаточной функцией . Эти звенья должны быть включены в состав структурно полного комплекса звеньев.

Поэтому вполне допустимо классифицировать все типовые звенья систем управления следующим образом:

1. Звенья нулевого порядка (описываемые «дифференциальными уравнениями нулевого порядка», т.е. алгебраическими уравнениями) – усилительное и запаздывающее звенья.

Общее выражение передаточной характеристики звена нулевого порядка выглядит как

,

где – некоторая константа, имеющая тот или иной физический смысл (обычно это коэффициент усиления k, либо величина задержки τ). Наименования звеньев нулевого порядка и их передаточные характеристики приведены в табл. 3.1.

2. Звенья первого порядка, описываемые общим дифференциальным уравнением первого порядка следующего вида:

. (3.24)

Общее выражение передаточной характеристики звена, описываемого

Таблица 3.1