2.2.3. Временные характеристики

Временные характеристики являются одной из форм представления операторов преобразования переменной f(t) в переменную y(t). Временные характеристики определяются на основе реакции системы на некоторые типовые (тестовые) входные сигналы. В качестве таких сигналов наиболее часто используются ступенчатая единичная функция, дельта-функция Дирака и гармонические сигналы. Последние будут рассмотрены несколько позже, а сейчас рассмотрим негармонические тестовые сигналы.

Тестовые сигналы. Для оценки поведения системы управления в различных режимах, на первый взгляд, необходимо задать на ее входах сложные сигналы управления, обеспечивающие переход системы во все возможные режимы. Недостаток такого решения проблемы обеспечения качества очевиден – это его сложность и неопределенность выбора входного сигнала, обеспечивающего проверку функционирования системы во всех режимах.

Упрощение решения этой задачи состоит в задании на входах системы сигналов, обеспечивающих только наиболее сложные режимы работы системы. Такие сигналы называются тестовыми. Считается, что при успешном функционировании системы в сложных режимах функционирование ее в простых режимах будет обеспечено. Таким образом, качество системы управления оценивается по характеристикам восприятия системой тестовых сигналов.

Типовые тестовые сигналы описываются общим выражением

, n ≤ 3,

операторное представление которых в форме преобразования Лапласа имеет вид

.

При этом каждый последующий (с ростом n) сигнал представляет собой интеграл от предыдущего, как показано в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Тестовые сигналы

n
0
1
2

Из таблицы видно, что каждый предыдущий сигнал является производной от следующего за ним сигнала. Исключением является первая строка таблицы: производной от единичной ступенчатой функции является функция Дирака (t), не имеющая аналитического представления.

Ступенчатая единичная функция 1(t) − математическая функция, заданная условиями: 1(t) = 0 при t < 0, и 1(t) = 1 при t > 0, т.е.

Ее графическое представление приведено на рис.2.11.

Рис. 2.11. Графическое представление ступенчатой единичной функции

Для автоматических систем она является распространенным видом входного воздействия. Как правило, подобные воздействия сопровождают процессы включения систем и переходы от одного установившегося состояния к другому. Это основной, наиболее тяжелый в смысле влияния на систему сигнал, при котором исследуются САУ. Реально на систему чаще действуют сигналы постепенно возрастающие во времени. Следовательно, при удовлетворительной работе системы при единичном сигнале, она будет работать лучше при сигнале, отличном от единичного.

Дельта-функция Дирака (t) − математическая функция, заданная условиями: (t)   при t = 0, и (t) = 0 при t ≠ 0, - т.е. это импульс бесконечно малой длительности с бесконечной амплитудой, площадь которого принимается равной 1, т.е.

Графическое представление функции приведено на рис. 2.12.

Рис. 2.12. Графическое представление дельта-функции Дирака (t)

Для автоматических систем эта функция является менее распространенным видом входного воздействия, чем ступенчатая единичная функция. Однако для теоретического описания последних она имеет существенное значение. Подобные воздействия характерны для радарных комплексов, описывают передачу импульса при упругом взаимодействии и т.д. Для этих целей ее можно грубо представить с помощью двух ступенчатых функций:

(2.13)

где: N - амплитуда функций, τ − время, на которое запаздывает вторая ступенчатая функция, при этом N ·τ = 1 и τ  0.

Из определений функций 1(t) и (t) очевидна связь между ними:

и . (2.14)

Единичная ступенчатая функция 1(t) легка для практической реализации с высокой точностью, однако дельта-функцию Дирака (t) реализовать сложнее.

Определения временных характеристик. Существует две временные характеристики.

Переходная функция или характеристика h(t) характеризует переходный процесс на выходе типового звена или линейной системы, возникающий при подаче на вход единичной ступенчатой функции 1(t) при нулевых начальных условиях.

Импульсная переходная функция или функция веса w(t) характеризует переходный процесс на выходе типового звена или линейной системы, возникающий при подаче на вход короткого импульса при нулевых начальных условиях, который, в приближении, можно рассматривать как дельта-функцию Дирака (t).

Примерный вид этих характеристик для систем второго порядка при веден на рис. 2.13.

Рис. 2.13. Временные характеристики:

а – переходная характеристика; б – весовая функция

В виду независимости присущих линейным системам свойств от внешних воздействий и наличия связи (1) между последними, подобное же отношение существует и для соответствующих типовых реакций:

и .

Лекция 5

Построение временных характеристик. Временные характеристики – импульсная переходная функция w(t) и переходная характеристика h(t) – могут быть получены экспериментально, если подать на вход объекта воздействие в виде достаточно узкого импульса с необходимой амплитудой, либо ступенчатой функции времени. Последнее даже более реально: весовую функцию w(t) можно получить дифференцированием функции h(t). Для оценки ординат функции веса w(t) путем обработки данных «вход-выход» объекта в виде случайных сигналов позволяют осуществить методы непараметрической идентификации (корреляционный анализ).

Если же исходная информация об объекте представлена в виде дифференциального уравнения, то временные характеристики получают его решением.

Пусть дано дифференциальное уравнение n-го порядка, определяющее звено или систему управления в целом. Необходимо получить выражения для типовых воздействий − импульсной переходной функции w(t) и переходной характеристики h(t), а также для реакции в случае воздействия общего вида.

Если изображение по Лапласу входного воздействия представляет собой дробно-рациональную функцию от p

,

то преобразование по Лапласу дифференциального уравнения при ненулевых начальных условиях и его решение относительно изображения выходной переменной приводит к результату

,

где полином A_н(p) определяется начальными условиями. При нулевых начальных условиях изображение выхода приобретает вид

,

где W(p) – передаточная функция.

Искомое решение (выходная переменная – оригинал) определяется в виде обратного преобразования Лапласа

,

где s – абсцисса сходимости.

Практически вычисление этого интеграла удобно производить на основании теоремы о вычетах, согласно которой

где Res Y(p) – вычет функции Y(p) в полюсе p_i = 1,…, n; n – число простых полюсов изображения Y(p). При t = 0 функция y(t) = 0.

Применение теоремы о вычетах состоит в следующем. Для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и типовых воздействий изображение Y(p) есть дробно-рациональная функция, которую можно представить суммой простейших дробей

, (2.15)

где - производная полинома A_Y по p, p_i – простые полюсы, а величина i-го вычета C_i определяется соотношением

. (2.16)

Оригинал y(t) в соответствии с разложением (2.15) есть сумма простых степенных функций

. (2.16΄)

Импульсная переходная функция (функция веса) w(t) есть реакция системы на -функцию при нулевых начальных условиях.

Поскольку изображение -функции

L{(t)} = 1,

то в этом случае

_,

т.е. функция веса представляет собой обращение изображения передаточной функции

Точно также, переходная функция h(t) есть реакция системы на ступенчатую единичную функцию 1(t) при нулевых начальных условиях. Поскольку изображение Лапласа для ступенчатой единичной функции 1(t) есть

,

то

.

Пример 2.4. Найти выражения функции веса w(t) и переходной функции h(t) для системы с передаточной функцией

.

Решение. Приравнивая знаменатель нулю, находим полюсы передаточной функции p₁ = −1, p₂ = − 2. Тогда разложение передаточной функции на сумму простейших дробей есть

.

Обратное преобразование Лапласа передаточной функции есть оригинал функции веса

.

Весовая функция определена выше как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции, деленной на р

Полюсами изображения реакции являются полюс самогó воздействия s₁ = 0 и полюсы передаточной функции. С учетом этого разложение изо-

бражения переходной характеристики в сумму простейших дробей дает

,

где

;

;

.

Следовательно, переходная функция имеет вид:

.

Теперь можно легко убедиться в справедливости соотношений

и .

■