Эвольвента окружности и её свойства и уравнение.

Э вольвентой окружности называется кривая, описываемая любой точкой прямой линии при перекатывании её без скольжения по окружности. При этом прямая линия называется производящей прямой, а окружность – основной окружностью.

Текущий радиус-вектор точки K_y эвольвенты обозначим через r_y.

Начальный радиус-вектор этой кривой равен радиусу r_b основной окружности.

У

О

Рис 13.8

гол _y называется углом профиля.

Угол, образованный начальным радиус-вектором эвольвенты OK_в и её текущим радиусом OK_y называется углом развёрнутости эвольвенты или эвольвентным углом.

По построению эвольвенты имеем:

K_вN_y = K_yN_y , подставив в это выражение значение дуги и отрезка получим:

откуда (13.8)

Это уравнение выражает функциональную зависимость между углами inv _y и _y, измеренных в радианах.

Связь между r_y, r_b и _y устанавливается из K_yON_y зависимостью:

(13.9)

Для геометрической теории зацепления важное значение имеют следующие свойства эвольвенты:

1. Эвольвента – симметричная кривая с двумя ветвями, сходящимися в точке K_в, которая лежит на основной окружности.

2. Эвольвента не имеет точек внутри основной окружности

3. Форма эвольвенты зависит только от радиуса основной окружности. При увеличении радиуса r_b радиус кривизны эвольвентного профиля постепенно увеличивается при r_b = эвольвента преобразуется в прямую.

4. Нормаль к любой точке эвольвенты направлена по касательной к основной окружности.

5. Центр кривизны эвольвенты лежит в точке касания нормали с основной окружностью.

Эвольвентное зацепление.

Пусть профиль зуба звена 1 очерчен по эвольвенте основной окружности радиуса r_b1, а профиль зуба звена 2 по эвольвенте окружности r_b2. Центры вращения этих окружностей O₁ и О₂. Приведём в соприкосновение эвольвенты Э₁ и Э₂ в точке «К» (рис. 13.9)

Н ормаль к Э₁ – является касательной к окружности радиусом r_b1.

Н

Рис 13.9

ормаль к Э₂ – является касательной к окружности r_b2. Т.к. в точке К эвольвенты касаются друг друга, то и линии N₁K и KN₂, а следовательно и N₁N₂ является общей нормалью к эвольвентам Э₁ и Э₂, т.к. профили являются сопряжёнными.

Рассматривая новое положение эвольвент Э₁^’ и Э₂^’ приходим к аналогичному выводу.

Таким образом, линию N₁N₂ можно рассматривать как геометрическое место точек касания сопряженных профилей. В процессе зацепления, т.е. смены точек контакта прямая N₁N₂ не меняет своего положения. Этим доказывается первое существенное свойство эвольвентного зацепления.

1. Эвольвентное зацепление обеспечивает постоянство передаточного отношения в процессе зацепления, т.е.:

Точка пересечения общей нормали к эквивалентам с межосевой линией (полюс зацепления Р) занимает неизменное положение.

Центроиды в относительном движении звеньев представляют собой окружности. Эти окружности называются поллоидными или для плоского зацепления начальными.

По свойству центроид начальные окружности с радиусами r_w1 и r_w2 перекатываются без скольжения.

Угол _w – угол между линией зацепления и прямой, перпендикулярной межосевой линии называется углом зацепления.

2. Из этих формул и рис. 13.9, б, видно, что изменение межосевого расстояния а_w = r_w1+ r_w2 не влияет на величину передаточного отношения вследствие неизменности размеров основных окружностей.

3. При внешнем зацеплении эвольвентные профили являются сопряжёнными только в пределах линии зацепления N₁N₂.

Эвольвенты Э₁ и Э₂, проходящие через точку х, расположенную вне участка N₁N₂ ниже точки N₂ (рис 13.9, а) не имеют общей нормали. Это означает, что эвольвенты в точке х не касаются, а пересекаются. То же произойдет выше точки N₁ вне участка линии зацепления N₁N₂.