Теорема Тейлора о разложении функции в степенной ряд

Теорема 3.4. Функция, аналитическая в области  , в окрестности каждой точки   этой области представляется в виде степенного ряда (3.15), радиус сходимости   которого не меньше, чем расстояние от точки   до границы области  . Коэффициенты ряда вычисляются по формуле

(3.16)

где   — произвольный контур, принадлежащий области   и охватывающий точку  , в частности,   — окружность   или по формуле

(3.17)

На основании теоремы можно сформулировать алгоритм решения поставленной выше задачи и вывод — утверждение.

Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд

1. Найти производные от данной функции:  .

2. Вычислить значения производных в точке  ; записать коэффициенты по формуле (3.17). Составить ряд по степеням   с этими коэффициентами, который соответствует данной функции 

3. Найти область сходимости полученного ряда и записать разложение (3.15).

Если функция не имеет конечных особых точек, то ряд сходится к ней во всей плоскости,  .

Утверждение 3.3

1. Функция, аналитическая в точке  , раскладывается в окрестности этой точки в степенной ряд.

2. На границе круга сходимости ряда есть хотя бы одна особая точка функции, т.е. радиус сходимости круга равен расстоянию от центра разложения   до ближайшей особой точки функции.

3. Степенной ряд в круге сходимости является рядом Тейлора для своей суммы, т.е. коэффициенты ряда вычисляются по формулам (3.16), (3.17).

8.Приложение рядов к приближенным вычислениям

Степенные ряды находят применение в таких задачах, как приближенное вычисление функций с заданной степенью точности, определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений и др.

Приближенное значение функции вычисляют, заменяя ряд Маклорена этой функции конечным числом его членов.

Числовые и функциональные ряды широко применяются в приближенных вычислениях. Укажем на наиболее важные из этих применений.

8.1. Вычисление значений функций с помощью рядов

Пусть требуется вычислить значение функции при  с заданной степенью точности. Предположим, что функцию можно разложить в степенной ряд

Тогда

Взяв достаточное число первых членов ряда, получим приближенное равенство

где

Таким образом,

9.Ряды фурье

9.1. Понятие ряда Фурье

Ряды Фурье играют большую роль в математической физике, теории упругости, электротехнике и особенно их частный случай – тригонометрические ряды Фурье.

Тригонометрическим рядом называют ряд вида

или, символической записи:

 ( 1 )

где ω, a₀ , a₁ , …, a_n , …, b₀ , b₁ , …,b_n , …- постоянные числа (ω>0) .

К изучению таких рядов исторически привели некоторые задачи физики, например задача о колебаниях струны (XVIII в.), задача о закономерностях в явлениях теплопроводности и др. В приложениях рассмотрение тригонометрических рядов, прежде всего связано с задачей представления данного движения, описанного уравнением у = ƒ(χ), в виде суммы простейших гармонических колебаний, часто взятых в бесконечно большом числе, т. е. в качестве суммы ряда вида (1).

Таким образом, мы приходим к следующей задаче: выяснить существует ли для данной функции ƒ(x) на заданном промежутке такой ряд (1),который сходился бы на этом промежутке к данной функции. Если это возможно, то говорят, что на этом промежутке функция ƒ(x) разлагается в тригонометрический ряд.

Ряд (1) сходится в некоторой точке х₀ , в силу периодичности функций   (n=1,2,..), он окажется сходящимся и во всех точках вида  (m- любое целое число), и тем самым его сумма S(x) будет (в области сходимости ряда) периодической функцией: если S_n (x) – n-я частичная сумма этого ряда, то имеем

а потому и  , т. е. S(x₀ +T)=S(x₀ ). Поэтому, говоря о разложении некоторой функции ƒ(x) в ряд вида (1), будем предполагать ƒ(x) периодической функцией.