5.2Функциональный ряд, его сходимость

Рассмотрим ряд,    , членами которого являются функции, определенные на промежутке    . При каждом фиксированном    имеем числовой ряд, сходимость которого может быть исследована рассмотренными ранее методами. Сумма функционального ряда    также является функцией от х:    . По определению предела последовательности: если для    можно указать номер   ( что интересно, для каждого фиксированного    - свой номер, т.е.   ), такой, что для     выполняется неравенство   , то это и означает, что функциональный ряд сходится к функции . Множество  , для которого это выполняется, называется областью сходимости функционального ряда.

 

ПРИМЕР 1.  Нахождение области сходимости функционального ряда.

Равномерная сходимость функционального ряда. Пусть    , т.е. функциональный ряд сходится. Если для    можно указать номер   независимо от   , такой, что для  выполняется неравенство   , то говорят, что функциональный ряд сходится равномерно на множестве .  

 

ПРИМЕР 2.  Изучение сходимости функционального ряда.

 

Исследование на равномерную сходимость. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда: если существует сходящийся числовой ряд    с положительными членами, такой, что для всех   , начиная с некоторого номера и всех   выполняется неравенство  , то функциональный ряд   сходится на  равномерно. Числовой ряд    в этом случае называют мажорантой для функционального ряда.

6.Степенные ряды

Определение

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:

Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x₀), то есть ряд вида

где x₀ − действительное число.

Интервал и радиус сходимости

Рассмотрим функцию  . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.  Если интервал сходимости представляется в виде  , где R > 0, то величина R называетсярадиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.  Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле

или на основе признака Даламбера:

7.Разложение функций в степенные ряды

Общая постановка задачи разложения функции в ряд в комплексной области формулируется так же, как и в действительной области. А именно, для заданной функции  , определенной в области   и удовлетворяющий в ней него которым дополнительным условиям, требуется найти ряд вида   который бы сходился в области   и его сумма в этой области совпадала с  .

Постановка задачи разложения функции в степенной ряд

Для функции  , аналитической в области  , найти ряд  , сходящийся к   в круге  , принадлежащем области  , то есть

(3.15)

Равенство (3.15) означает, что   является суммой ряда в круге  .

Для решения задачи нужно, очевидно, найти коэффициенты ряда по заданной функции  ; найти круг сходимости ряда и установить сходимость ряда именно к  . Последнее, напомним, означает, что для точек круга выполняется неравенство   для любого   и  .

Все поставленные вопросы решаются с помощью следующей теоремы.