4.Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов

4.1 Абсолютная и условная сходимость

Заметим, что признак сходимости, доказанной выше, является только достаточным признаком сходимости знакочередующегося ряда, но не необходимым: существуют такие знакопеременные ряды, которые сами сходятся, но ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся. В связи с этим полезно ввести понятия об абсолютной и условной сходимости. знакопеременного ряда и на основе этих понятий классифицировать знакопеременные ряды.

Определение. Знакопеременный ряд

(1)

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов:

(2)

Если же знакопеременный ряд (1) сходится, а ряд (2), составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то данный знакопеременный ряд (1) называется условно или неабсолютно сходящимся рядом.

4.2 Свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов

С помощью понятия абсолютной сходимости теорему 1 часто формулируют следующим образом: всякий абсолютно сходящийся ряд есть ряд сходящийся.

В заключение отметим (без доказательства) следующие свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов.

Теорема 2. Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов.

Это свойство не сохраняется для условно сходящихся рядов.

Теорема 3. Если ряд сходится условно, то, какое бы мы ни задали число А, можно так переставить члены этого ряда, чтобы его сумма оказалась в точности равной А. Более того, - можно так переставить члены условно сходящегося ряда, чтобы ряд, полученный после перестановки, оказался расходящимся.

5.Функциональные ряды

5.1. Основные понятия

Определение. Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным рядом. Его обозначают: (1) Определение. Если при   ряд (1) сходится, то   называется точкой сходимости ряда (1). Определение. Множество всех значений  , при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда. Очевидно, что в области сходимости функционального ряда его сумма является функцией от  . Будем ее обозначать  .

2. Степенные ряды

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида: (2) где  – некоторые числа, называемые коэффициентами степенного ряда. Теорема (о структуре области сходимости степенного ряда). Областью сходимости степенного ряда: (2) является интервал  , к которому в зависимости от конкретных случаев могут быть присоединены точки   и  , где   (если этот предел существует). В каждой точке интервала   ряд сходится абсолютно.