15.1. Сплайн-функции. Случай одной переменной

Вначале определим допустимый класс кривых. Он должен быть таким, чтобы:

А) решение было единственным;

Б) построенная кривая изменялась плавно.

Пусть на плоскости задан набор точек

,

таких, что они упорядочены следующим образом:

,

т. е. точки пронумерованы в порядке возрастания вдоль оси Ox, это позволяет искать кривую в классе графиков функций.

Можно воспользоваться представлением графика функции в виде многочлена, например, существует интерполяционный многочлен Лагранжа:

где

    График этого полинома (многочлена) проходит через все заданные точки (рис. 15.1.1). Многочлен однозначно определяется набором своих коэффициентов, число которых совпадает с количеством точек в заданном наборе (m+1).

Рис. 15.1.1. Полином Лагранжа порядка 5.

    Недостатки:

1. Степень многочлена Лагранжа равна m, если заданных точек (m+1), поэтому чем больше точек, тем больше степень полинома Лагранжа, и хотя он гарантированно пройдет через все заданные точки, но если его порядок велик, то отклонение от ожидаемых значений всегда может быть существенным.     2. Изменение всего лишь одной точки требует полного пересчета коэффициентов интерполяционного многочлена, и вид кривой может существенно измениться.

Самый простой способ построения искомой кривой – соединение точек набора прямолинейными отрезками, но получается ломаная. При такой кусочно-линейной интерполяции нужно найти всего 2m чисел, но при этом мы не получаем необходимой гладкости кривой (математически – нахождение производных).

Нужно найти класс функций, которое сохранили бы достоинство простоты (сравнительно небольшое количество вычислений) и отсутствия указанных недостатков. Для этого используют многочлены, но строят их последовательно – звено за звеном. Как во втором случае в результате получается полиномиальный многозвенник. При этом важно выбрать степень используемых многочленов и тщательно подобрать коэффициенты многочленов из условий гладкого сопряжения соседних звеньев то, что получается в результате такого подхода и называется сплайн–функцией или просто сплайном:

Сплайн–функция обладает следующими свойствами:

С довольно большой точностью часть графика функции между двумя любыми соседними опорами (точками) можно приблизить к многочленам 3-ей степени и на всём промежутке от x₀ до x_m эта функция дважды непрерывно дифференцируема. Такая функция относится к интерполяционным кубическим сплайнам.

Интерполяционный кубический сплайн – это функция S(x), обладающая следующими свойствами:

1. График функции проходит через каждую точку заданного массива

2. На каждом из отрезков

функция является многочленом 3-ей степени

3. На всём отрезке от х₀ до х_m функция S(x) имеет непрерывную производную.

На каждом отрезке сплайн S(x) определяется четырьмя коэффициентами, поэтому для полного построения сплайна на всём большом отрезке надо найти 4m чисел.

Третье условие будет выполнено, если потребовать непрерывность сплайна во всех внутренних узлах x_i(i =1,2,…m-1) это даёт m-1 условие на коэффициент. Ещё m-1 условие даёт требование непрерывности первой производной во внутренних узлах и ещё m-1 – второй.

Всего получается 4m–2 условий на коэффициенты. Недостающие 2 условия для полного определения коэффициентов получают, например, задавая значение 1-ых производных на концах отрезков:

 Эти условия называются граничными.