3.5 Диффузионно-возрастное приближение

Условно разделим реакторные нейтроны на две группы: на две группы:

1) замедляющиеся нейтроны с энергией от E_fдо Е_гр.

2) тепловые нейтроны с энергией E<E_гр. Будем считать, что при замедлении возраст нейтронов изменяется от 0 до τ_т, а не до τ_гр, поскольку разница между τ_гР и τ_т несущественна.

Предположим, что захват нейтронов в процессе замедления отсутствует, а все резонансное поглощение сосредоточено на границе области и плотность замедления скачком уменьшается в φ раз. Таким образом, для замедляющихся нейтронов справедливо уравнение возраста:

Δq(r, τ)-∂q(r, τ)/∂τ =0 (3.16а)

Диффузию тепловых нейтронов будем описывать уравнением:

+D^тΔФ(r) – Ф(r)*Σ_а^т (r) + φ*q(r, τ) / ∂τ = 0 (3.16б)

где Ф(r) —усредненный по тепловой области поток нейтронов; D^T; Σ_а^т - усредненные константы; φ*q(r, τ) -объемная скорость генерации тепловых нейтронов (источник).

Исходя из начального (по энергии) условия, должна быть определена скорость генерации быстрых нейтронов при τ =0 . В рассматриваемом случае генерация вторичных нейтронов происходит только в результате поглощения тепловых. На каждый поглощенный тепловой нейтрон генерируется θν^т_эффμ=К_∞/φ быстрых нейтронов. Полное число тепловых нейтронов, поглощенных в единице объема и в единицу времени, равноФ(r)*Σ_а^т (r). Поэтому объемная скорость генерации быстрых нейтронов

q(r, 0)= Ф(r)*Σ_а^т (r)К_∞/φ (3.17)

Итак, будем искать решение системы двух дифференциальных уравнений второго порядка (3.16а.) и (3.16.б) с граничными условиями:

q(R_э, τ)=0 и Ф(R_э)=0

где R_э- экстраполированный размер реактора.

Предположим, что переменные r и τразделяются, т.е.

q(r, τ)= Ф(r)*Х(τ) (3.18)

где Х(τ ) —спектр замедляющихся нейтронов в реакторе конечных размеров. Подставляя выражение (3.18) в уравнение (3.17) и разделяя переменные, получаем:

ΔФ(r)/Ф(r)=dX(τ)/X(τ) dτ (3.19)

В левой части уравнения стоят функции, зависящие только от r, а в правой — только от τ , т. е. переменные разделились. Каждую часть можно приравнять константе. Обозначим ее —æ².

Уравнение для Ф() будет повторять знакомое уравнение диффузии. Второе уравнениеdX(τ)/X(τ) dτ= æ² интегрируем и получаем

dX(τ)=X(0)*EXP(æ²τ)

Из начальных условий

X(0)=К_∞/φ*Σ_а^т

В итоге получаем выражение для æ²:

æ²=К_∞*[EXP(-æ²τ)-1]/L_т² (3.20а)

Как видим æ² –это известный нам материальный параметр.

3.5 Условия критичности реактора в диффузионно-возрастном приближении.

В диффузионно-возрастном приближении вместо вероятности избежать утечки в диффузионном приближении для тепловых нейтронов Р_dпоявляется произведение вероятностей P= Р_d*P_зам , где P_зам- вероятность избежать утечки в процессе замедления.

Без доказательства

P_зам= EXP(-æ²τ)

Тогда корректное приближение для Р:

P= Р_d*P_зам= EXP(-æ²τ)/[1+ L_т²*B²]

Если разложить экспоненту по малому параметру

EXP(-æ²τ)≈1- æ²τ≈ 1/(1+æ²τ )

Перемножив скобки в знаменателе и отбросив слагаемые высшего порядка малости получим приближенное, но наиболее часто встречающееся на практике выражение:

P=1/[1+ M²*B²] (3.21а)

Где М –длина миграции при замедлении и диффузии.

Таким образом, условие критичности реактора в диффузионно-возрастном приближении:

К_эфф= К_∞/[1+ M²*B²] (3.21 в)

Что похоже на условие критичности в диффузионном приближении, но вместо длины диффузии стоит длина миграции.