28.Линии уровня.

Определение. Линией уровня функции U=F(X, Y) называется линия F(X, Y)=С на плоскости XOy, в точках которой функция сохраняет постоянное значение U=C.

Линии уровня геометрически изображаются на плоскости изменения независимых переменных в виде кривых линий. Получение линий уровня можно представить себе следующим образом. Рассмотрим множество С, которое состоит из точек трехмерного пространства с координатами (X, Y, F(X, Y)=Const), которые, с одной стороны, принадлежат графику функции Z=F(X, Y), с другой  - лежат в плоскости, параллельной координатной плоскости ХОУ, и отстоящей от неё на величину, равную заданной константе. Тогда для построения линии уровня достаточно поверхность графика функции пересечь плоскостью Z=Const и линию пересечения спроектировать на плоскость ХОУ. Проведенное рассуждение является обоснованием возможности непосредственно строить линии уровня на плоскости ХОУ.

Определение. Множество линий уровня называют Картой линий уровня.

Хорошо известны примеры линий уровня – уровни одинаковых высот на топографической карте и линии одинакового барометрического давления на карте погоды.

Определение. Направление, вдоль которого скорость увеличения функции максимальна, называется «предпочтительным» направлением, или Направлением наискорейшего роста.

«Предпочтительное» направление задается вектором-градиентом функции. На рис. 35 изображены максимум, минимум и седловая точка в задаче оптимизации функции двух переменных при отсутствии ограничений. В нижней части рисунка изображены линии уровня и направления наискорейшего роста.

29.Частные производные функции двух переменных и их геометрический смысл.

Производная от функции z=f(x,у) по х, найденная в предложении, что у остается постоянным, называется частной производной от z по х и обозначается   или f'x (x,у). Аналогично определяется и обозначается частная производная z по у.      Если функция z=f(x,у) имеет в точке (х,у) непрерывные частные производные, то ее полное приращение может быть представлено в виде:        ,                                             (1)      где   при  .

Геометрический смысл частных производных функции двух переменных

Выясним геометрический смысл частной производной функции двух переменных   Как известно, графиком функции  является некоторая поверхность. Рассмотрим точку   в плоскости   и соответствующую точку   на поверхности (рис. 219). Сделаем параллельный перенос осей с новым началом в точке   и рассмотрим плоскую кривую   которая получится при сечении поверхности новой координатной плоскостью   (т. е. плоскостью   в старой системе координат). Эту кривую можно рассматривать как гграфик функции одной переменной   в плоскости   (т. е. в плоскости   в старой системе). Но тогда, согласно геометрическому смыслу производной функции одной переменной,   где   - угол с осью   или, что то же, с осью   касательной, проведенной к кривой   в точке   другой стороны,

Отсюда следует, что  . Итак, значение частной произеодной в точке   равно тангенсу угла у составленного с осью  касательной, проведенной в точке   к линии пересечения поверхности   и плоскости у В этом заключается геометрический смысл частной производной   Аналогично выясняется геометрический смысл частной производной