22.Пересечение прямой и плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

Точка пересечения прямой и плоскости – определение.

В заголовке статьи фигурируют слова «точка», «прямая» и «плоскость». Поэтому, для понимания темы необходимо иметь четкое представление о точке, прямой линии и плоскости в пространстве. Освежить в памяти эти понятия Вы можете, обратившись к статьям прямая в пространстве и плоскость в пространстве.

Возможны три варианта взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

прямая лежит в плоскости;

-прямая параллельна плоскости;

-прямая пересекает плоскость.

Нас интересует третий случай. Напомним, что означает фраза: «прямая и плоскость пересекаются». Говорят, что прямая и плоскость пересекаются, если они имеют только одну общую точку. Это общую точку пересекающихся прямой и плоскости называют точкой пересечения прямой и плоскости.

Приведем графическую иллюстрацию.

К началу страницы

Нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости.

Введем в трехмерном пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Теперь каждой прямой соответствуют уравнения прямой некоторого вида (им посвящена статья виды уравнений прямой в пространстве), каждой плоскости отвечает уравнение плоскости (можете ознакомиться со статьей виды уравнения плоскости), а каждой точке соответствует упорядоченная тройка чисел – координаты точки. Дальнейшее изложение подразумевает знание всех видов уравнений прямой в пространстве и всех видов уравнения плоскости, а также умение переходить от одного вида уравнений к другому виду. Но не пугайтесь, по тексту мы будем приводить ссылки на необходимую теорию.

Давайте сначала детально разберем задачу, решение которой мы можем получить на основании определения точки пересечения прямой и плоскости. Эта задача нас подготовит к нахождению координат точки пересечения прямой и плоскости.

Расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, опущенного из заданной точки к заданной плоскости.

Следует отметить, что расстояние от точки М₁ до плоскости  , определенное таким образом, является наименьшим из расстояний от заданной точки М₁ до любой точки плоскости  . Действительно, пусть точка H₂ лежит в плоскости   и отлична от точки H₁. Очевидно, треугольник М₂H₁H₂ является прямоугольным, в нем М₁H₁ – катет, а M₁H₂ – гипотенуза, следовательно,  . Кстати, отрезок M₁H₂ называется наклонной, проведенной из точки М₁ к плоскости  . Итак, перпендикуляр, опущенный из заданной точки на заданную плоскость, всегда меньше наклонной, проведенной из этой же точки к заданной плоскости.

23.Расстояние от точки до прямой. Расстояние между прямыми в пространстве.

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.

Это определение эквивалентно первому определению расстояния от точки до прямой.

Обратите внимание на то, что расстояние от точки до прямой – это наименьшее из расстояний от этой точки до точек заданной прямой.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.

Рассмотрим скрещивающиеся прямые a и b. Отметим на прямой a некоторую точку М₁, через прямую b проведем плоскость  , параллельную прямой a, и из точки М₁ опустим перпендикуляр М₁H₁ на плоскость  . Длина перпендикуляра M₁H₁ есть расстояние между скрещивающимися прямыми a и b.