16.Скалярное произведение и его свойства.

Называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов   и   будем обозначать как  . Тогда формула для вычисления скалярного произведения имеет вид  , где   и  - 1.свойство коммутативности скалярного произведения  ;

свойство 2.дистрибутивности   или  ;

3. сочетательное свойство   или  , где   - произвольное действительное число;

4.скалярный квадрат вектора всегда не отрицателен  , причем  тогда и только тогда, когда вектор   нулевой.

17.Векторное произведение и его свойства.

Векторным произведением двух векторов   и  , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор  , что

он является нулевым, если векторы   и   коллинеарны;

он перпендикулярен и вектору   и вектору   ( );

его длина равна произведению длин векторов   и   на синус угла между ними ( );

тройка векторов   ориентирована так же, как и заданная система координат.

1.Антикоммутативность  ;

2.Дистрибутивность   или  ;

3.Сочетательное свойство   или  , где   - произвольное действительное число.

18.Смешанное произведение векторов.

Смешанным произведением трех векторов   и   называется действительное число, равное скалярному произведению векторов   и  , где   - векторное произведение векторов   и  .

Из определения понятно, почему смешанное произведение часто называют векторно-скалярным произведением.

Смешанное произведение векторов   и   обычно обозначают  . В таких обозначениях по определению смешанного произведения  .

19.Плоскость в пространстве, различные виды уравнений.

Плоскость, прямая, точка — основные понятия геометрии. Нам трудно дать им четкие определения, однако интуитивно мы понимаем, что это такое. Плоскость имеет только два измерения. У нее нет глубины. Прямая имеет лишь одно измерение, а у точки вообще нет размеров — ни длины, ни ширины, ни высоты.

Плоскость бесконечна. Поэтому в задачах мы рисуем только часть плоскости. Надо же как-то ее изобразить.

.

Уравнение   называется общим уравнением плоскости в пространстве. Если не придавать числам А, В, С и D конкретных значений, то общее уравнение плоскости называют уравнением плоскости в общем виде.

Следует заметить, что уравнение вида  , где   - некоторое действительное число, отличное от нуля, будет определять ту же самую плоскость, так как равенства   и   эквивалентны. К примеру, общие уравнения плоскости   и   задают одну и ту же плоскость, так как им удовлетворяют координаты одних и тех же точек трехмерного пространства.

Например, плоскость   параллельна оси абсцисс и перпендикулярна координатной плоскости Oyz, уравнение z = 0 определяет координатную плоскость Oxy, а общее уравнение плоскости вида   соответствует плоскости, проходящей через начало координат.

Уравнение плоскости вида  , где a, b и c – отличные от нуля действительные числа, называется уравнением плоскости в отрезках.

Для примера построим в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, определенную уравнением плоскости в отрезках  .

Общее уравнение плоскости вида   называют нормальным уравнением плоскости, если длина вектора   равна единице, то есть,  , и  .

Часто можно видеть, что нормальное уравнение плоскости записывают в виде  . Здесь   - направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины, то есть  , а p – неотрицательное число, равное расстоянию от начала координат до плоскости.

Нормальное уравнение плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz определяет плоскость, которая удалена от начала координат на расстояние p в положительном направлении нормального вектора этой плоскости  . Если p=0, то плоскость проходит через начало координат.

Приведем пример нормального уравнения плоскости.

Пусть плоскость задана в прямоугольной системе координат Oxyz общим уравнение плоскости вида  . Это общее уравнение плоскости является нормальным уравнением плоскости. Действительно,   и нормальный вектор этой плоскости   имеет длину равную единице, так как  .

Построим плоскость Π, проходящую через т. М0, перпендикулярную вектору n (этот вектор называют нормальным вектором или нормалью плоскости). Утверждение 1: М   Π   М0М  n. М0М={x-x0, y-y0, z-z0}   n   A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.

Каноническое уравнение плоскости в пространстве: Аx+By+Cz+D=0, где D = -Ax0-By0-Cz0.