30.Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.

31.Экстремумы функций двух переменных.

Найти экстремум функции Z = X2 + (Y – 1)2.

Найдя частные производные и приравняв их к нулю, получаем систему уравнений:

Решение этой системы очевидно: Х = 0, у = 1. Поскольку Z  0 при всех Х, у, то ясно, что найденная точка (0, 1) есть точка минимума.

32.Первый полный дифференциал функции двух переменных и приближённые вычисления.

 Пример. Найти полный дифференциал функции  .      Решение. Сначала найдем частные производные                  Производная   найдена в предположении, что у постоянна, а   найдена в предположении, что х постоянна. По формуле (3):       .      Ответ. dz=(10 x–6xy³) dx+(9 x² y²+6) dy.

Вычислить приближенно  , заменяя приращения функции ее дифференциалом.

Формула для приближенного вычисления с помощью дифференциала:

Начинаем разбираться, здесь всё просто!

Составим функцию  . По условию предложено вычислить кубический корень из числа:  , поэтому соответствующая функция имеет вид:  . Нам нужно с помощью формулы найти приближенное значение  .

Смотрим на левую часть формулы  , и в голову приходит мысль, что число 67 необходимо представить в виде  . Как проще всего это сделать? Рекомендую следующий алгоритм: вычислим данное значение на калькуляторе:  – получилось 4 с хвостиком, это важный ориентир для решения.

В качестве   подбираем «хорошее» значение, чтобы корень извлекался нацело. Естественно, это значение   должно быть как можно ближе к 67. В данном случае:  . Действительно:  .

Если  , то приращение аргумента:  .

Итак, число 67 представлено в виде суммы 

Далее работаем с правой частью формулы  .

Сначала вычислим значение функции в точке  . Собственно, это уже сделано ранее:

Дифференциал в точке находится по формуле:   – тоже можете переписать к себе в тетрадь.

Из формулы следует, что нужно взять первую производную:

И найти её значение в точке  :

Таким образом:

Согласно формуле  :

Ответ: 

33.Частные производные сложной функции(3 случая).

Найти   и  , если  , где  .

Решение.

Для отыскания частных производных сложной функции двух переменных воспользуемся формулами:

.

Найдем каждый из сомножителей, представленных в формуле:

 

Подставим полученные выражения в формулы для нахождения частных производных сложной функции двух переменных:

В итоге

34.Частные производные неявной функции.

Найти производную неявной функции  .

Производная неявно заданной функции всегда представляется в виде выражения, содержащего x и y:  . Чтобы прийти к такому результату, продифференцируем обе части равенства:

Разрешим полученное уравнение относительно производной:

35.Производная по направлению.

Найти производную от функции   в точке   по направлению вектора  .

Для решения задачи воспользуемся формулой для нахождения производной от функции   в заданной точке   по направлению вектора  : , где   – направляющие косинусы вектора  , которые вычисляются по формулам: .

По условию задачи вектор   имеет координаты  . Тогда его длина равна: Следовательно, для направляющих косинусов вектора получим следующие значения: Далее для решения задачи необходимо найти все частные производные первого порядка от функции  :

Вычислим значения этих частных производных первого порядка в точке  :

В заключении подставим полученные значения для направляющих косинусов вектора   и значения частных производных первого порядка от функции  в точке   в формулу для нахождения производной по направлению в заданной точке:

Ответ: производная от функции   в точке   по направлению вектора   равна  .