3 Ряды Фурье для четных и нечетных функций.

Отметим некоторые известные свойства чётных и нечётных функций.

1 Если функции и одновременно обе чётные или обе нечётные, то их произведение являются чётной функцией.

2 Если одна из функций и чётная, а другая нечётная, то их произведение являются нечётной функцией.

3 Если –нечётная на [–a;a] функция, то

4 Если –чётная на [–a;a] функция, то

Учитывая эти свойства, разложение в ряд Фурье чётной или нечётной функции упрощается.

Пусть функция –чётная и удовлетворяет теореме Дирихле. Тогда функции –чётны, а –нечётные при любых n=1,2,... Поэтому

Ряд Фурье для чётной функции имеет вид:

Пусть функция нечётная и удовлетворяет теореме Дирихле. Тогда функции . нечётные, а

–четные при любых n=1,2,... Поэтому

Ряд Фурье для нечётной функции имеет вид:

.

4 Некоторые замечания разложения четных и нечетных функций в ряд Фурье.

Свойства интеграла по симметричному промежутку от четных и нечетных функций позволяет упростить ряд Фурье.

Замечание 1.15. Пусть – четная функция, определенная и интегрируемая на симметричном промежутке . Тогда

.

Интеграл от четной функции сводится к двойному интегралу от половины симметричного промежутка

Пусть – нечетная функция, определенная и интегрируемая на симметричном промежутке . Тогда

Интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку равен нулю:

Замечание 1.16. Пусть функция – четная, -периодическая, удовлетворяет условию теоремы Дирихле 1.1. Тогда ее ряд Фурье в действительной форме (1.21) в точках непрерывности имеет вид

так как, согласно формулам (1.33), (1.34), коэффициенты Фурье (1.22) преобразуются к виду:

т. е.

Если – четная, -периодическая, то ее ряд Фурье (1.24), (1.25) принимает вид:

Таким образом, четная функция, удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле 1.1, раскладывается в ряд Фурье только по косинусам.

Замечание 1.17. Пусть функция – нечетная, -периодическая, удовлетворяет условию теоремы Дирихле 1.1. Тогда ее ряд Фурье в действительной форме (1.21) в точках непрерывности имеет вид

так как, согласно формулам (1.33), (1.34), коэффициенты Фурье (1.22) преобразуются к виду:

Если – нечетная, -периодическая, то ее ряд Фурье (1.24), (1.25) принимает вид:

Таким образом, нечетная функция, удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле 1.1, раскладывается в ряд Фурье только по синусам.