18. Задача про спостережуваність систем з непевним аргументом

Розглянемо лін. нестаціонарну систему

(1.1) на .

x(t) - n -вимірний вектор, A(t) – n*n матриця (відома)

за системою проводяться спостереження. Відомо таку функцію (1.2)

y(t)-m- вимірний вектор, значення якого відомо спостерігачеві. G(t) – n*m матриця

Задача спостережності:

_{За відомими значеннями} y(t) t є [t₀,t₁]. знайти повністю або частково фазовий стан системи (1.1), тобто

_x(t), t є [t₀,t₁].

(На практицi n>m.)

Озн. ( спостережуваності [t₀,t₁]на систем (1.1) (1.2))

Система (1.1) за умов (1.2) називається спостережуваною нa t є [t₀,t₁]. якщо за значенням y(t) t є [t₀,t₁].можна однозначно знайти x(t₀)

Нехай відомо x(t₀)=x₀ . Тоді x(t) =X(t,t₀)x₀, де X(t,t₀)– матриця Коші для (1.1).

, .

Розглянемо систему з дискретним аргументом (1.3) .

(1.3) визначає фазовий стан системи .

За системою проводять спостереження:

, . (1.4)

– -вимірний вектор фазового стану системи (1.3),

- матриця,

– -вимірний вектор,

– відома прямокутна матриця .

Задача. За значенням y(s), s=0,1,… N знайти частково або повністю. x(0),x(1),…,x(N)

Означення. (спостережуваність системи з дискретним аргументом) Система (1.3) за умов (1.4) називається спостережуваною , якщо за значеннями y(0),y(1),…,y(N) можна однозначно знайти x(0)

Нехай відоме. x(0)=x₀ Тоді , .

.

19. Необхідні і достатні умови спостережуваності системи з неперервним аргументом

(1.1) , ,

(1.2)

Теорема. (необхідні і достатні умови спостережуваності с-ми (1.1)(1.2) на )Для того, щоб система (1.1) за умов (1.2) була спостережувана на даному відрізку н. і д., щоб вектор-стовпчики матриці були лінійно–незалежними вектор – функціями  t, t є [t₀,t₁]. Умова лінійної – незалежності означ., що для – вимірного вектора лінійна комбінація (1.3) . – матриця Коші. (1.3) можна записати так: .

Доведення: 1) Необхідність. Нехай система (1.1) за умов (1.2) спостережувана на , але при якому . Тоді запишемо так: (1.3). Виберемо . Тобто . Але система (1.1) за умови (1.2) спостережувана, а ми не можемо за функцією однозначно відновити початковий стан системи.

Достатність. Нехай вектор-стовпці матриці є лінійно-незалежними. За цієї умови як початковий стан системи (1.1) шукатимемо в такому вигляді (1.4), – довільний -вимірний вектор. Припустимо, що для – -вимірна функція, яка залежить від .

Припустимо, що ми знайшли . Тоді підставивши (1.3) в (1.4) отримаємо: , .

Розглянемо наступну систему керування :

(1.5)

, (1.6)

Треба знайти так, щоб розв’язок (1.5) задовольняв умови (1.6).

– спряжена до (1.1).

Запишемо матрицю імпульсних перехідних функцій для системи (1.5) :

(1.7)

Запишемо розв’язок (1.5), який задовольняє умови :

,

(1.8)

(1.9)

Підставимо (1.9) в (1.8) :

.

Треба задовольнити початкову умову з (1.6). Оскільки вектор-стовпці матриці лінійно-незалежні, то вектор-рядочки матриці (1.7) є лінійно-незалежними при всіх , зокрема при . Це є умова цілком керованості системи (1.5).

Запишемо . Виберемо , – невідомий -вимірний вектор.

(1.10)

З (1.10) враховуючи, що є неособливою, одержимо, що .

Отже, ми за довільним вектором однозначно можемо знайти функцію :

,

Оскільки - довільний -вимірний вектор, то .

Ми однозначно відновили початковий стан (1.1) , .