16. Достатні умови керовності лінійної нестаціонарної системи.

Розглянемо лінійну нестаціонарної систему

(1.1)

Означення: Система (1.1) наз. керовною на заданому відрізку [t₀,t₁], якщо існує функція керування

u(t) t є [t₀,t₁] така, що для будь-яких x₀,x₁ є Х розв’язок рівняння (1.1) x(t)= x(t,u(t))

задовольняє умови x(t₀) = x₀, x(t₁)=x₁ (1.2)

В подальшому вважатимемо, що елементи A і B мають відповідну кількість похідних (елементи A

і B гладкі функції). Позначимо z₁(t)= B(t), тоді

, j=2,3,…,n(1.3).

Позначимо матрицю Z(t) = (z₁(t), z₂(t),…,z_n(t)).

Теорема(достатні умови керовності (1.1) на [t₀,t₁]): Якщо rankZ(t)=n для деякого t, t є [t₀,t₁].(1.4),

то система (1.1) керовна на [t₀,t₁].

Доведення: Достатність. Потрібно показати, що за виконання (1.4) вектор-рядки матриці

w(t₁, ) = X(t₁, )B( ) (1.5) будуть лінійно незалежними Нехай виконується (1.4),

але не зважаючи на це вектор-рядки матриці (1.5) є лінійно-залежними.

Тобто що

l^* w(t₁, ) = l^* X(t₁, )B( ) = 0 є [t₀,t₁].(1.6).

Запишемо співвідношення

l^* X(t₁, )B( ) = 0

l^* X(t₁, )B( ) =

= l ^* ( (A( )B( ) - z₂( ) =0

, l^* (X(t₁, )z₂( )) = z₃( ) =0

...................

l^* (X(t₁, )z_n-1( )) = (-1)ⁿ z_n( ) =0

, . (1.7)

Тут l₁( )=X^*( t₁, )l (1.8). Тоді l=( X^*( t₁, ))^-1l₁( )≠0,

є [t₀,t₁]. 0<||l||≤ || X^*( t₁, ))^-1|| ||l₁( )||.

>0 (1.9).

Ми одержали, що в (1.7) вектор l₁( )≠0, є [t₀,t₁].

.Отже не справджується умова (1.3). Суперечність. Теорему доведено.

17. Керовність систем з дискретним аргументом. Теорема про необхідні і достатні умови

Розглянемо систему виду (1.1),

­– n-вимірний вектор, – m-вимірний вектор, – n*n , – n*m;

Означення. Система (1.1) наз. керовною, якщо існує набір керування , що розв’язок системи (1.1) задовольняє такі умови: . (1.2)

– ціле число,

(1.2΄) Означення. Система (1.1) наз. керовною, якщо , будь-якого цілого числа існує набір керування , що розв’язок системи (1.1) задовольняє умови (1.2΄). - фіксований початковий момент. Випишемо позначення:

.

Позначимо , (1.3)

, (1.4)

, (1.5)

. (1.6)

Отримаємо

. Якщо в останній рівності поставити , то можна записати у явному вигляді . (1.7) Запишемо останнє рівняння так:

. Задовольнимо умови (1.2): (1.8)

Теорема: Достатність. Для того щоб система (1.1) була керовною н. і д. щоб виконувалась умова (1.9) , де . Доведення: Нехай (1.9) справджується. Покажемо, що (1.1) керована і побудуємо керування у явному вигляді. Шукаємо керування у вигляді (1.10) , де – деякий – вимірний вектор. Підставляючи (1.10) у (1.8) 0держимо (1.11) . Якщо справджується (1.9), то з (1.11) легко знайти вектор .

,

, .

Необхідність. (Від супротивного) Нехай (1.1) керована, але – особлива матриця, тобто і (1.9) не виконується.

– -вимірний вектор.

.

За припущенням система (1.1) керована, тобто справджується рівність (1.8) при деяких спеціально підібраних .

Виберемо , такими, щоб .

(1.12).

З іншого боку:

.

А це суперечить формулі (1.12). Припущення не вірне. Теорему доведено.