1. Постановка задач теорії керування.

Приклад 1.

Нехай задана матер.точка маси m і відомо, що вона може здійснювати рух вздовж прямої під дією сили u.

Припустимо, що сила u задовольняє таку систему |u(t)|≤ u₀ u₀>0 (1.1)

d²x/dt² = mu(t) (1.2) (прискорення точки пропорційне сумі сил, які діють на цю точку)

Для визначення руху цієї точки введемо такі позначення x₁(t)=x(t), x₂(t) = dx(t)/dt – фазові координати (1.3)

dx₁ (t)/dt = x₂(t),

dx₂ (t)/dt= mu(t) (1.4)

x(t₀) = x₀,

x(t₁) = x₁, (1.5) – умови

d(x(t₀))/dt = 0,

d(x(t₁))/dt= 0 (1.6)

Знайти такий закон руху рівняння (1.2) x(t) матер.точки під дією сили u і при цьому виконуються умови (1.5) і (1.6). Тобто треба знайти таку силу u(t), яка забезпечила б переведення матер. Точки зі стану А= (х₀,0) у стан В=(х₀,0) за відрізок часу (t₀,t₁)

Початкові умови:

х₁(t₀) = x₀, x₂(t₀) = 0 (1.7)

х₁(t₁) = x₁, x₂(t₁) = 0

Для задачі (1.4)-(1.7) запровадимо такий критерій якості: підібрати силу u так для системи (1.4), яка забезпечить виконання умов (1.7) за оптимальний час

Приклад 2. (задача навігації)

Нехай корабель рухається по поверхні води, при цьому виконуються такі умови: курс корабля визначається кутом ψ. Знайти ψ так, щоб корабель з початкової точки А попав в точку В за мін.час за таких умов: швидкість |v| = 1 і течія води має швидкість S, напрямлена вздовж осі ох₁

Побудуємо мат.модель:

dx₁ (t)/dt = cos ψ +s

dx₂ (t)/dt= sin ψ (1.9)

x(t₀) = x₀ ¹

x(t₁) = x₁ ¹, (1.10) – початкові та кінцеві умови

x(t₀) = x₁ ²,

x(t₁) = x₂ ²,

t₀ – t₁ -> min ψ (1.11)

cos ²ψ + sin² ψ =1 (1.12) cos ψ = u₁(t), sin ψ = u₂(t)

dx₁ (t)/dt = u₁(t) +s

dx₂ (t)/dt= u₂(t) { u₁(t) , u₂(t): u₁ ²(t) + u₂ ²(t)=1, [t₀,t₁] }

Приклад 3. (задача переслідування)

|х з рискою(t) – x(t)| -> min

Sqrt ((x₁ з рискою – x₁)² +( x₂ з рискою – x₂)²)

Припустимо, що є система, яка змінює свій стан в дискретний момент часу t. Припустимо, що в кожній з цих дискретних моментів система моде знаходитися в 4 станах : х(1), х(2), х(3), х(4).

х(і+1)>f(x(i), u(i))

Опишемо ф-цію f таблично

	x(1)	x(2)	x(3)	x(4)
u(0)	x(1)	x(1)	x(1)	x(2)
u(1)	x(3)	x(4)	x(4)	x(3)

Нехай треба мінімізувати деяку функцію і яка залежить від кінцевого стану.

φ(х(n)) задамо таблицею

x(n)	x(1)	x(2)	x(3)	x(4)
φ(х(n))	-2	3	-1	2

Нехай система дискретна аргументу починає функціонувати з деякого стану х(0), яке належить множині { х(1), х(2), х(3), х(4)}

Знайти керування u(0),u(1), u(2), u(3),…u(n-1) так, щоб ф-ція φ(х(n)) досягла мінімального значення.

2. Структурні схеми систем керування.

_{Будь-яку} сист керув можна подати таким чином . А – обєкт керув, В – пристрій, який керує обєктом А. Стан А визначаєтся деякою кількістю n чисел , які назив фазовими коорд обєкта. Для скороч запису часто використ вектор в n-вимірному просторі, при кожному t. Вектор x назив вихідним сигналом системи або фазовим станом системи, а простір Х – фазовим простором. Стан обєкта А змінюється під дією вхідних сигналів . В намагається виробити такий сигнал u(t), щоб можна було б забезпечити певний закон зміни вектора x(t). x(t)=L(u(t)), де L-деякий оператор, який відображає структуру обєкта А. Система керув набуває такого вигляду . Вектор х вимірюється і подається на ПК обєкту В по лініях оберненого звязку. Знаючи поточний стан обєкта х, ПК В виробляє деякі керування u(t). На вхід ПК В подається - це той бажаний режим, на який треба вивести обєкт А,||x(t)- ||². Сист з оберненим звязком назив замкненими сист керув. , z(t) – випадкові збурення, які діють на обєкт керування. Тоді x(t)=x( t, z(t), u(t) ), L( x(t), u(t), z(t), t )=0. Вважатимемо, що L таке рівняння . , де , , A(t) – матр , B(t) – матр