44.Алгоритм Форда поиска кратчайших расстояний в графе.

Алгоритм Форда-Беллмана

Пусть дан ориентированный взвешенный граф с вершинами и рёбрами, и указана некоторая вершина . Требуется найти длины кратчайших путей от вершины до всех остальных вершин.

В отличие от алгоритма Дейкстры, этот алгоритм применим также и к графам, содержащим рёбра отрицательного веса. Впрочем, если граф содержит отрицательный цикл, то, понятно, кратчайшего пути до некоторых вершин может не существовать (по причине того, что вес кратчайшего пути должен быть равен минус бесконечности); впрочем, этот алгоритм можно модифицировать, чтобы он сигнализировал о наличии цикла отрицательного веса, или даже выводил сам этот цикл.

Описание алгоритма

Мы считаем, что граф не содержит цикла отрицательного веса. Случай наличия отрицательного цикла будет рассмотрен ниже в отдельном разделе.

Заведём массив расстояний , который после отработки алгоритма будет содержать ответ на задачу. В начале работы мы заполняем его следующим образом: , а все остальные элементы равны бесконечности .

Сам алгоритм Форда-Беллмана представляет из себя несколько фаз. На каждой фазе просматриваются все рёбра графа, и алгоритм пытается произвести релаксацию (relax, ослабление) вдоль каждого ребра стоимости . Релаксация вдоль ребра — это попытка улучшить значение значением . Фактически это значит, что мы пытаемся улучшить ответ для вершины , пользуясь ребром и текущим ответом для вершины .

Утверждается, что достаточно фазы алгоритма, чтобы корректно посчитать длины всех кратчайших путей в графе (повторимся, мы считаем, что циклы отрицательного веса отсутствуют). Для недостижимых вершин расстояние останется равным бесконечности .

Реализация

Для алгоритма Форда-Беллмана, в отличие от многих других графовых алгоритмов, более удобно представлять граф в виде одного списка всех рёбер (а не списков рёбер — рёбер из каждой вершины). В приведённой реализации заводится структура данных для ребра. Входными данными для алгоритма являются числа , список рёбер, и номер стартовой вершины . Все номера вершин нумеруются с по .

Простейшая реализация

Константа обозначает число "бесконечность" — её надо подобрать таким образом, чтобы она заведомо превосходила все возможные длины путей.

Обозначим через МинСт(1,s,к) наименьшую стоимость проезда из 1 в s менее чем с k пересадками. Тогда выполняется такое соотношение:

МинСт (1,s,k+1) = наименьшему из чисел МинСт(1,s,k) и МинСт(1,i,k) + a[i][s] (i=1..n)

Как отмечалось выше, искомым ответом является МинСт(1,i,n) для всех i=1..n.

k:= 1;

for i := 1 to n do begin x[i] := a[1][i]; end;

{инвариант: x[i] := МинСт(1,i,k)}

while k <> n do begin

| for s := 1 to n do begin

| | y[s] := x[s];

| | for i := 1 to n do begin

| | | if y[s] > x[i]+a[i][s] then begin

| | | | y[s] := x[i]+a[i][s];

| | | end;

| | end

| | {y[s] = МинСт(1,s,k+1)}

| | for i := 1 to n do begin x[s] := y[s]; end;

| end;

| k := k + 1;

end;