Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Летнее задание 2-й группы, сдавшей зачет.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
87.04 Кб
Скачать

Бонус: признаки делимости на разные числа.

Признак делимости на 2: последняя цифра числа делится на 2 (0,2,4,6,8).

Признак делимости на 5: последняя цифра числа делится на 5 (0,5).

Признак делимости на 3: сумма цифр числа делится на 3.

Признак делимости на 9: точно такой же (тоже сумма цифр должна делиться на 9).

Признак делимости на 4: число, составленное из последних двух цифр исходного, делится на 4. Например, 67522 на 4 не делится, а 5489780 – делится. Можете проверить.

Признак делимости на 25: число, составленное из последних двух цифр исходного, делится на 25. Например, 67520 на 25 не делится, а 5489700 – делится. Опять же, можете проверить :)

Признак делимости на 8: число, составленное из последних трех цифр исходного, делится на 8.

На самом деле эти признаки делимости выполняются даже в более широком смысле: остаток от деления числа на 5 совпадает с остатком от деления на 5 его последней цифры, на 3 – с остатком от деления на 3 суммы его цифр и т.д.

Как доказываются все эти признаки?

На 2 и на 5. Обозначим наше число за N, а его последнюю цифру числа B. Тогда число представляется в виде N=10A+B, где A – количество его десятков (например, 1234=10*123+4). Часть 10A делится и на 2, и на 5 (10A=2*5A=5*2A), поэтому делимость числа N=10A+B на 2 или 5 зависит только от того, делится ли на 2 или 5 вторая часть этой суммы, то есть B (а остаток получается таким же, как у B, поскольку 10A на него не влияет).

На 3 и на 9. Рассмотрим для примера число из пяти цифр abcde. Мы знаем, что его можно представить в виде abcde=10000a+1000b+100c+10d+e (скажем, 12345 = 10000+2000+300+40+5). Перепишем это равенство так: abcde = 10000a+1000b+100c+10d+e = 9999a+999b+99c+9d+e+a+b+c+d. Первые 4 слагаемых делятся на 9 (а значит, и на 3), поэтому на остаток от деления суммы на 3 или 9 они не влияют. Получается, что число abcde делится на 3 или 9 с таким же остатком, как сумма оставшихся слагаемых e+a+b+c+d, то есть как его сумма цифр. Понятно, что если цифр в нашем числе не 5, а больше (или меньше), эти рассуждения тоже верны – разница будет только в том, что нам придется написать больше нулей и девяток

На 4 и на 25. Все так же, как с признаками делимости на 2 и 5, только за B мы обозначаем число из двух последних цифр, а за A – количество сотен. Получается N=100A+B (например, 12345=100*123+45). Поскольку 100 делится и на 4, и на 25, то и 100A делится, поэтому слагаемое 100A не влияет на остаток. А остаток от деления N на 4 или 25 будет такой же, как у второго слагаемого, то есть B. В частности, если B делится на 4 или 25 нацело (с остатком 0), то и N тоже.

Признак делимости на 11: разность суммы всех цифр, стоящих на четных местах, и суммы всех чисел, стоящих на нечетных местах, делится на 11. Пример:

123456 не делится на 11, потому что (2 + 4 + 6) - (1 + 3 + 5) = 12 - 9 = 3, 3 не делится на 11.

507265 делится на 11, потому что разность (5 + 7 + 6) - (0 + 2 + 5) = 11, делится на 11.

Проверьте это на калькуляторе!

10*) Докажите самостоятельно признак делимости на 11 (это аналогично признаку делимости на 9, но сложнее).

Пара задач на признаки делимости.

11) Танги написал на листке число, составленное из 101 пятерки и еще одной цифры. Затем он пристально посмотрел на листок и заметил, что число делится на девять. Какая цифра была написана кроме пятерки?

12) Четырехзначное число записали 22 раза подряд. Докажите, что результат делится на 11.