56. Загальна характеристика та класифікація оптимізаційних задач.

задача оптимізації полягає у знаходженні оптимального значення цільової

функціїf(x) на допустимій множині D. Розв’язати оптимізацій-ну задачу —

означає знайти її оптимальне розв’язування або встанови-ти, що

розв’язування немає. Методи розв’язування оптимізаційних за-дач

називають методами математичного програмування. Оптимізаційні моделі

бувають двох типів: задачі мінімізації і задачі максимізації.

Перш за все треба розділяти задачі параметричної та структурної оптимізації.

Параметрична оптимізація є предметом, що розглядається в цьому розділі, де наведені постановка такої задачі та методи її розв’язання. Структурна оптимізація – це задача синтезу оптимальної структури системи, причому зміна структур та перетворення однієї структури в іншу здійснюється за спеціальним алгоритмом синтезу. Параметрична оптимізація об’єднує багато різних задач, що мають свої власні особливості та методи розв’язання.

Класифікацію цих задач наведено на рисунку 5.1.

До цього треба додати деякий коментар:

1.  Якщо існує декілька цільових функцій, то має місце задача векторної оптимізації.

2.  Якщо кількість параметрів  , що керуються, більше ніж один, то розв’язується задача багатопараметричної оптимізації.

3.  Якщо існують обмеження та умови, що зв’язують параметри  , то виникає задача оптимізації з умовами, яка в кібернетиці дістала назву математичного програмування.

4.  Математичне програмування об’єднує задачі нелінійного програмування (цільова функція в загальному випадку нелінійна), стохастичного програмування (параметри   – випадкова величина, а цільова функція – випадкова функція), динамічного програмування (оптимізація багатокрокових процесів пошуку рішення).

5.  Якщо параметри, що керуються, приймають тільки дискретні значення, то виникає задача дискретної оптимізації, а якщо   – цілі числа, то – задача цілочислового програмування.

57. Складові математичних моделей оптимізаційних задач. Сутність методу розв’язання задач лінійного програмування.

Задачі вигляду (3.1) розв’язуються методами математичного програмування, що включає в себе лінійне програмування, нелінійне програмування, динамічне програмування, цілочисельне програмування і т. д. Вибір методів математичного програмування для розв’язання оптимізаційних задач визначається виглядом цільової функції, виглядом обмежень, що визначають область М, і спеціальними обмеженнями на керовані змінні (наприклад, вимогою щодо їх цілочисельності). Рішення задачі (3.1) звичайно називається оптимальним рішенням, або оптимальним планом.

Методи розв'язання

• Метод потенціалів — розроблений в 1940 радянськими вченими Канторовичем та Гавуріним Л. В. в застосуванні до транспортної задачі;

• Симплекс-метод — цей метод є узагальненням методу потенціалів для випадку загальної задачі лінійного програмування. Розроблений американським вченимДанциґом Дж.-Б. в 1949 році.

• Двоїстий симплекс-метод розроблений згодом після прямого симплекс-методу, і який є, за сутністю, симплекс-методом розв'язання двоїстої задачі лінійного програмування, але сформульованої в термінах вихідної задачі.

Усі ці методи скінченні. Крім того, існують, також, ітеративні методи розв'язання, які дають можливість обчислювати розв'язки задачі із наперед заданою точністю.

Близький зв'язок між лінійним програмуванням та теорією ігор дає змогу використовувати для розв'язання задач лінійного програмування чисельні методи теорії ігор.

Інша група ітеративних методів характеризується заміною вихідної задачі на еквівалентну їй задачу опуклої оптимізації без обмежень, для розв'язання якої використовуються різноманітні градієнтні методи.

Для розв'язання задач лінійного програмування з великою кількістю змінних та обмежень використовують методи декомпозиції, які дають змогу замість вихідної задачі розв'язувати послідовність задач меншого обсягу.

Методів лінійного програмування недостатньо при накладанні додаткових обмежень на цілочисельність значень змінних. Вивченням таких задач займаєтьсяцілочисельне програмування.