Планіметрія

ТРИКУТНИКИ

Позначення:

а,b,с — сторони трикутника,

— кути, протилежні до цих сторін відповідно,

p= - півпериметр,

R і r — радіус описаного та вписаного кіл відповідно,

h_а, h_ь, h_с — висоти, проведені до сторін а, b, с,

l_а, m_a — відповідно бісектриса і медіана, проведені до сторони а.

ОСНОВНІ СПІВВІДНОШЕННЯ

МІЖ ЕЛЕМЕНТАМИ ТРИКУТНИКА

1. а+ b> с (с — найбільша із сторін).

2. = 180° = (радіан),

= 3,141592653..., 1 радіан = = 57°17'45",

1° = радіана = 0,017453 радіана.

3. Теорема синусів

= = 2R.

4. Теорема косинусів

а² = b² + с² – 2bс соs .

ФОРМУЛИ ДЛЯ ОБЧИСЛЕННЯ ПЛОЩІ ТРИКУТНИКА

S = ah_a, S = ah sin , S = , S = pr,

S = - формула Герона.

ПРАВИЛЬНИЙ ТРИКУТНИК (а=b=с)

S = , R = , r = .

= 60° = , h_a = l_a = m_a = .

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК

( = 90°, с — гіпотенуза, а, b — катети).

а² +b ²= с² (теорема Піфагора),

S = ab, S = p(p – c),

r = , R = = m_c ,

а² = са_с, b² = сb_с, h_с² = а_cb_c,

(а_с, b_c — проекції катетів а і b на гіпотенузу с),

а = с sin = с соs = btg = b сtg .

Чотирикутники

Позначення:

d₁ < d₂ - діагоналі,

- кут між діагоналями,

a, b - суміжні сторони,

- кут між сторонами а і b,

h_a - висота, опущена на сторону а,

S - площа.

S = d₁d₂ sin .

У квадраті

а = b, = , d₁=d₂=a , S = d², S = а².

У прямокутнику

= , S = аb.

У ромбі

а = b, = , S = d₁d₂, S = а²sin , S = a h_a.

У паралелограмі

d₁² + d₂² = 2(a² + b²), S = a h_a, S = аb , S = d₁d₂ sin .

У трапеції (а, b — основи, h — висота, l — середня лінія)

S = h, S = l h, l = .

ВПИСАНІ ТА ОПИСАНІ ЧОТИРИКУТНИКИ

У чотирикутник можна вписати коло тоді і тільки тоді, коли суми протилежних сторін рівні:

а + с = b + d.

З усіх паралелограмів лише в ромб (зокрема, в квадрат) можна вписати коло, його центр лежить на перетині діагоналей.

Навколо чотирикутника можна описати коло тоді і тільки тоді, коли суми протилежних кутів рівні:

= 180°.

Із усіх паралелограмів лише навколо прямокутника (квадрата) можна описати коло.

Навколо трапеції можна описати коло тільки тоді, коли вона рівнобічна.

Для вписаного чотирикутника справедливі формули:

ac = bd = d₁d₂.

S = , де p = – півпериметр.

МНОГОКУТНИКИ

Многокутник опуклий, якщо при продовженні будь-якої з його сторін до прямої увесь многокутник лежить по одну сторону від цієї прямої.

Діагональ многокутника — відрізок, що з'єднує дві несусідні вер­шини.

Сума внутрішніх кутів опуклого n-кутника дорівнює 2d(n - 2),

де d = - величина прямого кута.

Сума зовнішніх кутів опуклого многокутника, якщо взяти по одному при кожній вершині, дорівнює 4d.

Число діагоналей опуклого n-кутника дорівнює n(n- 3).

Правильні многокутники

Позначення:

а_п - сторона,

R - радіус описаного кола,

r - радіус вписаного кола,

S - площа.

Многокутник правильний, якщо всі його сторони рівні і всі внут­рішні кути рівні між собою.

a_n = 2Rsin = 2r tg , r = Rcos , S = , S = R²n sin .

Відповіді та вказівки

Алгебра

1.11; 2. 4; 3. ; 4. 135; 5. 1; 6. 1; 7. 3-2 ; 8. +1; 9. 5; 10. 1; 11. ;

12. ; 13. -1; 14. 5; 15. ; 16. 5; 17. - ; 18. ; 19. 0; 20. 0; 21. ;

22. - ; 23. ; 24. ; 25. ; 26. 4; 27. 50; 28. 19; 29. 0; 30. 1;

31. ;32. ; 33. tg ; 34. sin( ); 35. ; 36. ; 41. 0,28; 42. 0,96;

43. -4; 10; 44. 2; 45. 0; 6; 46. -4; 47. ; ; 48. (- (0; ). 49. (-4;3). 50. (2;2), (-2;-2); 51. (4;4,5.); 52. [-9;-4 ] ; 53. -1; 54. -5;-1;4; 55. 7; 56. -3; 57. (-6; -3) (-2;1); 58. [-12; ]; 59. (- (-2 ; ) ; 60. (- ( ; ); 61. (2,3), (3; 2), (-2; -3), (-3; -2) ; 62. (2;1), ( ; ); 63. [-3; -2) ]

64. [-3;-2) (0;1] ; 65. 66.

67. + , 68. , 70. + ,

71. +2 72. +2 +2 73. + ≤ x ≤ + 74. - + 6 75. - + , 76. - +4 ≤ x ≤ 4 ; 77. 0 78. 1 79. 2 80. 0 81. -2 82. 8 83. 3 84. 85. 0 86. 25 87. (0 88. (-5 -4) 89. -2 90. 5 91. [1 92. [ -3 [2 ) 93. [1 ] 94. [-1 ]

95. ( 0) (5 ) 96. [-4 97. ( 7 9), (2 1) 98. (6,5 ) 99. [-3 ] (- ); 101. 2 102.1; 103. парна 104. непарна 105. -4 106. 6 107. - ; 108. 2 +3  

109. 0; 4; 110. 0; 1; 111. ; 112. 2 ; ; 113. ; 114. - ; 115. [ -1;0] [2 ); 116. [ 0; 2] ; 117. sinx-1; 118. F(x)= x - + ; 119. 6; 120.1; 121. 2; 122. 9; 123. F(x)= - ;

124. - -1 на (0 125. 4tg ( -1)+C;

126. ctg (3-2x)+C; 127. 0; 128. 10; 129. 4,5; 130. 2 .

Геометрія

1. 10 см; 2. 12 см; 3. 17 см; 4. 54 см; 5. 5 см; 6. 3 см; 7. 36 см; 8. 8,5 см; 9. 30˚; 10. 13 см; 11. (-2;0;0); 12. 1; 13. 3; 14. =(-1;2;-1); 15. ; 16. так; 17. так; 18. ; 19. n=2 або n=1; 20. В(-7;7;-4); 21. використайте одну з ознак паралелограма; 22. знайдіть координати діагоналей і доведіть, що вони перпендикулярні;

23. 2 ; 24. досить довести, що довжини двох сторін трикутника рівні; 25. доведіть рівність довжин трьох сторін; 26. 132 см²;

27. 30 см³; 28. 120 см²; 29. 24 см³; 30. 3 см; 31. 45˚; 32. 3360 см³; 33. 140 см³; 34. 4 см; 35. 432 см²; 36. 12 см³; 37. 120 см²; 38. 80 см³; 39. 126 см²; 40. 5 см; 41. 6 см; 42. 108 см³; 43. 231 см²; 44. 256 см³; 45. 1 дм; 46. 3 см; 47. 6 см; 48. 108 см³; 49. 60 см²; 50. 6 см; 51. 81 см³; 52. 10 см; 53. 3 см; 54. 20 см²; 55. 2,5 дм³.

Зміст

Передмова……………………………………………………………………3

І. Взірці розв’язування математичних вправ ….……………………….…4

ІІ. Завдання для самоконтролю…..….…………………………………….22

IІІ. Визначення. Формули………………………………………………….34

ІV. Відповіді та вказівки ..…………………………………………………47

Література …………………………………………………………………..50

ЛІТЕРАТУРА

1. Бевз Г.П. Алгебра. 7-9 кл. – К., 1997.

2. Бевз Г. П. Довідник з математики. - К., 1981.

3. Бевз Г. П. Математика. 10-11 кл. - К., 1995.

4. Богомолов М. В. Практичні заняття з математики. - К., 1983.

5. Гладунський В. Н., Барвінський А. Ф., Гладунська Г. А. Малий математичний довідник. - Львів, 1992.

6. Гусев В. А., Мордкович А. И. Математика (справочныематериалы). -М., 1988.

7. Ковалев В. Ф. Практические занятия по математике. - К., 1971.

8. Колмогоров А. М., Абрамов О. М., Вейц Б. Ю. Алгебра і початки аналізу. 10-11 кл. - К., 1989.

9. Кочетков Є. С., Кочетков К. С. Алгебра і елементарні функції. Ч. 1. –

К., 1973.

10. Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. — М., 1990.

11. Латка Ф. Математичний лексикон. - Львів, 1990.

12. Лисичкин В. Т., Соловейчик И. Л. Математика. - М., 1991.

13. Литвиненко Г. М., Федченко Л. Я., Швець В. О. Збірник зав­дань для екзамену з математики на атестат про середню освіту. Ч. 1, 2. - Львів, 1997.

14. Макаричев Ю. М., Миндюк Н. І., Пешков К. І., Суворова С. Б. Алгебра. 9 кл. - К., 1991.

15. Погорєлов О. В. Геометрія. 10-11 кл. - К., 1991.

16. Сканави М. И. Сборник задач по математике. - М., 1993.

17. Теляковський С. О. Алгебра. - К., 1994.

Для нотаток