Геометрія

Прямі та площини в просторі

РІВЕНЬ А

1. Із точки А до площини проведено перпендикуляр і похилу, довжина якої 20 см. Кут між похилою і площиною 60°. Знай­діть довжину перпендикуляра.

2. Відстань від точки М до сторін квадрата дорівнює 13 см. Знай­діть відстань від точки М до площини квадрата, якщо сторона квадрата дорівнює 10 см.

3. Сторони трикутника АВС дорівнюють 10 см, 17 см і 21 см. Із вершини більшого кута трикутника до його площини проведе­но перпендикуляр АD, який дорівнює 15 см. Знайдіть відстань від точки D до сторони ВС трикутника.

4. Дано трикутник АВС. Площина , паралельна прямій АВ, пе­ретинає сторону АС в точці К, а сторону ВС — у точці М. Знайдіть АВ, якщо

КС = 12 см, АС = 18 см, КМ = 36 см.

5. До площини квадрата АВСD проведено перпендикуляр DМ. Сторона квадрата дорівнює 5 см. Знайдіть довжину проекції похилої МВ.

РІВЕНЬ Б

6. Із точки до площини проведено дві похилі, довжини яких від­носяться як 5:6. Знайдіть відстань від точки до площини, якщо відповідні проекції похилих дорівнюють 4см і 3 см.

7. Із даної точки до площини проведено дві похилі, різниця довжин яких дорівнює 6 см. Їх проекції на цю площину дорівнюють 27 см і 15 см. Знайдіть відстань від даної точки до площини.

8. Дано трикутник зі сторонами 26 см, 65 см і 75 см. Точка М знаходиться на однаковій відстані від сторін трикутника. Із точки М опущено перпендикуляр до площини трикутника, до­вжина якого дорівнює 4 см. Знайдіть відстань від точки М до сторін трикутника.

9. Ортогональною проекцією трикутника, площа якого дорівнює 48см; є трикутник зі сторонами 14 см, 16 см і 6 см. Обчисліть кут між площиною цього трикутника і площиною його проекції.

10. Рівнобедрені трикутники мають спільну основу довжиною 16 см, а їх площини утворюють між собою кут 60°. Бічна сторона одного трикутника дорівнює 17см, а бічні сторони другого три­кутника взаємно перпендикулярні. Знайдіть відстань між вер­шинами трикутників.

Координати і вектори в просторі

РІВЕНЬ А

11. На осі Ох знайдіть точку, рівновіддалену від точок А(1; 2; 2) і

В(-2; 1; 4).

12. У трикутнику АВС А(2; 1; 3), В(2; 1; 5), С(0; 1; 1). Знайдіть довжину медіани АМ.

13. Знайдіть довжину вектора ОА, де О - початок координат і А(1; 2 ; 2).

14. Знайдіть координати вектора , якщо А(0; 1;-1);В(1;-1;0).

15. Дано вектори (4; -2; -4) та (6; -3; 2). Обчисліть .

16. Чи колінеарні вектори (8; 3; -2) і (16; 6; -4)?

17. Чи перпендикулярні вектори (1; 1; -2) і (2; 2; 2)

РІВЕНЬ Б

18. Обчисліть довжину вектора +3 , якщо (3; 1; 0), (0; 1; -1) .

19. Вектори (n; -2; 1) і (n; 1; -n) перпендикулярні. Знайдіть n.

20.Точки А(4; 2; -1), С(-4; 2; 1), D(7; -3; 4) - вершини парале­лограма АВСD. Знайдіть координати вершини В.

21. Доведіть, що точки А(-4; -8; 8), В(-2; -2; 6), С(4; 0; -10), D(2; -6; -8) є вершинами паралелограма АВСD.

22. Доведіть, що чотирикутник АВСD є ромбом, коли: А(6; 7; 8),

В(8; 2; 6), С(4; 3; 2), D(2; 8; 4).

23. Знайдіть довжину діагоналі АС, паралелограма АBСD, якщо

А(2; -6; 0), В(-4; 8; 2), D(0; -12; 0).

24. Доведіть, що трикутник з вершинами А(7; 1; -5), В(4; -3; -4),

С(1; 3; -2) - рівнобедрений.

25. Доведіть, що трикутник з вершинами А(3; -2; 1), В(-2; 1; 3),

С(1; 3; -2) – рівносторонній.

Призма

РІВЕНЬ А

26. Основа прямої трикутної призми - прямокутний трикутник з катетами 3 см і 4 см. Висота призми 10 см. Знайдіть площу повної поверхні призми.

27. Знайдіть об'єм прямокутного паралелепіпеда, якщо сторони

основ 2 см і 3 см, а діагональ паралелепіпеда см.

28. Знайдіть площу діагонального перерізу прямокутного парале­лепіпеда, висота якого дорівнює 12 см, а сторони основи -8 см і 6 см.

29. В основі призми лежить трикутник зі сторонами 7 см, 5 см і 6 см. Висота призми — 4 см. Знайдіть об'єм призми.

30. Об'єм прямої призми, основа якої - правильний трикутник, дорівнює

18 см³, а її висота - 8 см. Знайдіть сторону осно­ви призми.

31. Знайдіть кут нахилу діагоналі бічної грані куба до площини основи.

РІВЕНЬ Б

32. У прямому паралелепіпеді сторони основи 10 см і 17 см, одна з діагоналей основи дорівнює 21 см. Більша діагональ парале­лепіпеда рівна 29 см. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.

33. Площі трьох граней прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 20см², 28 см² і 35 см². Знайдіть об'єм паралелепіпеда.

34. Бічна поверхня правильної чотирикутної призми дорівнює 32 см², а повна поверхня - 40 см². Знайдіть висоту призми.

35. У прямій трикутній призмі сторони основи дорівнюють 10 см,17 см,

21 см. Площа перерізу, проведеного через бічне ребро і меншу висоту основи, — 72 см². Знайдіть бічну поверхню призми.

Піраміда

РІВЕНЬ А

36. Довжина сторони основи правильної чотирикутної піраміди — 6 см, а бічне ребро утворює з площиною основи кут 30°. Знай­діть об'єм піраміди.

37. Радіус кола, описаного навколо основи правильної чотирикут­ної піраміди, дорівнює 3 см, а апофема — 10 см. Обчисліть бічну поверхню піраміди.

38. Основа піраміди — прямокутний трикутник з катетами 6 см і 8 см. Висота піраміди дорівнює 10 см. Обчисліть об'єм піра­міди.

39. Основою піраміди є прямокутник зі сторонами 6 см і 15 см. Ви­сота піраміди дорівнює 4 см і проходить через точку перетину діагоналей основи. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.

40. Площі основи та бічної поверхні правильної чотирикутної пі­раміди дорівнюють відповідно 36 см² та 60 см². Знайдіть апо­фему цієї піраміди.

41. Об'єм правильної чотирикутної піраміди — 48 см³, а висота — 4 см. Знайдіть сторону основи цієї піраміди.

42. Апофема бічної грані правильної чотирикутної піраміди утво­рює з висотою піраміди кут 60°. Знайдіть об'єм піраміди, якщо довжина сторони основи 6 см.

РІВЕНЬ Б

43. Основою піраміди є трикутник із сторонами 13 см, 15 см і 14 см. Бічні грані, що містять сторони 13 см і 15 см, перпендикулярні до основи. Знайдіть бічну поверхню піраміди, якщо її висота дорівнює 9 см.

44. Кожне бічне ребро піраміди дорівнює 2 см. Основа піраміди — прямокутний трикутник з катетами 12 см і 16 см. Обчис­літь об'єм піраміди.

45. Сторони основ правильної зрізаної трикутної піраміди — 4 дм і 1 дм. Бічне ребро 2 дм. Знайдіть висоту піраміди.

ТІЛА ОБЕРТАННЯ

РІВЕНЬ А

46. Площа бічної поверхні циліндра — 24 см², а його об'єм дорів­нює 48 см³. Знайдіть його висоту.

47. Об'єм циліндра — 8 см³, а його висота — 2 см. Знайдіть діагональ осьового перерізу.

48. Осьовим перерізом циліндра є прямокутник, площа якого 72 см². Знайдіть об'єм циліндра, якщо радіус основи дорівнює 3 см.

49. Площа основи конуса дорівнює 36 см², а його твірна — 10 см. Обчисліть бічну поверхню конуса.

50. Осьовим перерізом конуса є правильний трикутник. Висота конуса дорівнює 9 см. Знайдіть довжину твірної конуса.

51.Твірна конуса утворює з площиною основи конуса кут 60° і дорівнює 6 см. Знайдіть об'єм конуса.

РІВЕНЬ Б

52. У циліндрі на відстані 8 см від його осі та паралельно до неї проведено переріз, діагональ якого дорівнює 13 см. Обчисліть радіус основи циліндра, якщо його висота дорівнює 5 см.

53. У циліндрі паралельно до його осі проведено переріз, діагональ якого дорівнює 17 см. Висота циліндра — 15 см, а радіус осно­ви — 5 см. На якій відстані від осі проведено цей переріз?

54. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює половині площі його повної поверхні. Знаючи, що діагональ осьового перерізу дорів­нює 5 см, знайдіть повну поверхню циліндра.

55. Два циліндри мають однакові основи. Об'єм першого циліндра дорівнює 7,5 дм³, а його висота — 21 см. Висота другого цилінд­ра дорівнює 7 см. Чому дорівнює об'єм другого циліндра?

Розділ III. ВИЗНАЧЕННЯ. ФОРМУЛИ

СТЕПЕНІ ТА КОРЕНІ

Для будь-яких х, у та додатних а і b правильні рівності:

а⁰ = 1, а^ха^у=а^х+у, а^х:а^у=а^х-у, (а^х)^у=а^ху, (аb)^х=а^хb^х,

, = .

Для будь-яких натуральних n і k, більших 1, та будь-яких невід'­ємних а і b правильні рівності:

= , = , = , = ,

= , (b ≠ 0), = , = a.

ЛОГАРИФМИ

Логарифм додатного числа у при основі а є показник степеня х, до якого треба піднести а, щоб одержати у:

1оg_а у = х а^х = у, (а > 0, а ≠ 1).

Основна логарифмічна тотожність: = у.

ВЛАСТИВОСТІ ЛОГАРИФМІВ

1. log_а а = 1,

2. 1оg_а 1 = 0,

3. log_аху = log_а + log_а , ху> 0,

4. log_а = 1оg_а - log_а , ху> 0,

5. 1оg_а = (2 + 1)log_а х, х > 0, ,

= 2 log_а , х≠0, ,

x = lоg_а х, х>0, k , k≠ 0,

8. 1оg_а х = , x > 0, k , k≠ 0,

9. 1оg_а х = , x >0, а>0, b>0,a≠1, b≠1,

10. 1оg_а b = , а>0, b>0,a≠1, b≠1.

ДЕСЯТКОВІ ЛОГАРИФМИ

1оg₁₀ а — логарифм за основою 10.

НАТУРАЛЬНІ ЛОГАРИФМИ

lna= log_еа — логарифм за основою e = 2,718281828459045... .

Зв'язок між десятковими та натуральними логарифмами:

lnа = = ln10·lgа = lg a · 2,30259...,

lgа = = lge·lnа = ln a · 0,43429... .

ФОРМУЛИ СКОРОЧЕНОГО МНОЖЕННЯ

Для будь-яких чисел а і b правильні рівності:

а²- b² =(а-b)(а+b),

(а + b)² = а² + 2аb + b²,

(а - b)² = а² -2аb +b²,

(а + b)³ = а³ + 3а²b + 3аb² +b ³ = а³ + b³ + 3аb(а + b),

(а - b)³ = а³ - 3а²b + 3аb² -b³ = а³ -b³ - 3аb(а - b),

а³ + b³ = (а + b)(а²-аb + b²),

а³ -b³ = (а-b)(а² +аb + b²).

КВАДРАТНЕ РІВНЯННЯ

ах² + bх + с = 0, (а≠0).

Дискримінант квадратного рівняння

D = b ² - 4ас.

Якщо D > 0, то рівняння має два різних дійсних корені

x₁,₂ = .

Якщо D = 0, то рівняння має два рівні корені (або один корінь кратності 2). Якщо D < 0, то рівняння має два комплексно-спряжені корені:

і .

Формула коренів зведеного квадратного рівняння х² + рх + q = 0 має вигляд

x₁,₂= .

ФОРМУЛИ ВІЄТА

Формули Вієта для зведеного квадратного рівняння

х² + рх + q = 0

з коренями х₁, х₂:

x₁ + x₂ = -p, x₁· x ₂ = q.

АРИФМЕТИЧНА ПРОГРЕСІЯ

Арифметична прогресія — послідовність чисел а_n, в якій кожен наступний член, починаючи з другого, утворюється з попереднього члена за допомогою додавання одного і того ж числа d (d — різниця арифметичної прогресії). Якщо d > 0 — прогресія зростаюча, якщо d < 0 — прогресія спадна.

Позначення:

a₁— перший член,

d — різниця,

п — кількість членів,

а_n — n-й член,

S_n — сума перших п членів.

ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСІЯ

Геометрична прогресія — послідовність чисел b_n , в якій кожен наступний член, починаючи з другого, утворюється з попереднього за допомогою множення на одне і те ж стале для даної послідовності число

q (q - знаменник геометричної прогресії).

Позначення:

b₁ - перший член (b ≠ 0),

q - знаменник (q ≠ 0),

b_n - n-й член,

S_n - сума перших n членів.

b_n = b₁q^n-1, b_k² = b_k-1b_k+1, k = 2,3,…, n – 1,

b_kb_m = b_pb_q, де k + m = p +q,

S_n = , або S_n = .

Якщо < 1, то при необмеженому зростанні п (п )сума S_n прямує до числа S (сума нескінченно спадної геометричної прогресії):

S = .

ВЕКТОРИ

Модуль вектора = (x, y, z)

= .

Якщо А(х₁, у₁, z₁), В(х₂, у₂, z₂), то

= (х₂ – х₁, у₂ – у₁, z₂ – z₁).

Якщо = (х₁, y₁, z₁), = (х₂, у₂, z₂)

± = ( x₁ х₂, у₁ y₂, z₁ z₂)

Якщо вектори і колінеарні, то

= = .

Якщо , - кути, які утворює вектор з додатними напрямкакоординатних осей, то соs , соs , соs — напрямні косинуси вектора

Якщо а₀ - орт вектора = (x, y, z) то

a₀ = , , ) = ( ).

СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ

· = = np_ab = np_ba.

Якщо = (х₁,y₁,z₁ ), = (х₂, y₂, z₂), то = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂,

= = .

Скалярний добуток = ² = ²𝗅 .

Необхідна і достатня умова перпендикулярності векторів:

= 0 або х₁х₂ + у₁у₂ + z₁z₂ = 0.