5. Вектори

32. АВСD - паралелограм, М — середина сторони ВС, Н - середи­на сторони СD. Виразити вектор через вектори та .

Розв'язання:

З трикутника ABD: = - .

3 трикутника ВСD: МН - середня лінія, а тому

= і , звідки = - .

Відповідь: = - .

33. Обчислити кут між векторами , якщо = 3, = 4,

6 .

Розв'язання:

= , тоді = , звідки

Відповідь.

6. Декартові координати

34. Написати рівняння прямої, яка проходить через точку А(-1; 5) і утворює з додатним напрямом осі Ох кут 60°.

Розв'язання:

Запишемо рівняння прямої у вигляді у = kх + b, де k = tg , - кут, що утворює пряма з віссю абсцис. Отже, k = tg60° = . Оскільки пряма проходить через точку А(-1; 5), то 5 = · (-1) + b, звідки b = 5 + .

Тоді рівняння прямої матиме вигляд:

у = + 5 + або - у + 5 + = 0.

Відповідь. у = + 5 + або - у + 5 + = 0.

35. Дано коло (х - 3)² + (у +1)² =25. Знайти довжину хорд, що ле­жать на осях координат.

Розв'язання:

Осі Ох належать точки кола, для яких у = 0, тобто (х - 3)² + 1 = 25. Звідки (х - 3)² = 24, х - 3 = Отже, х₁ = 3 + х₂ = 3 - , а довжина хорди дорівнює |х₁ - х₂| = 2 = 4 .

Осі Оу належать точки кола, для яких х = 0, тобто 3² +(у + 1)² = 25, звідки (у + 1)² = 16; у+1 = ±4. Отже, у₁ = 3, у₂ = -5, а довжина хорди дорівнює |у₁ - у₂| = 8.

Відповідь. 4 ; 8.

7. Тригонометрія

36. Спростити вираз

Розв' язання:

Відповідь. 2.

37. Знайти числове значення виразу

Розв'язання:

Відповідь. 0.

38. Обчислити значення виразу:

( – 1 при

Розв'язання:

(

Якщо то 0,5.

Відповідь. 0,5.

39. Довести тотожність

Розв'язання:

Тотожність доведено.

40. Обчислити якщо

90° < < 180°, 0° < < 45°.

Розв'язання:

0° < < 90°; =

Відповідь.

41. Розв'язати рівняння соз 3х + 2 соsх = 0.

Розв'язання:

або ;

х = + де n,k

Відповідь. + де n,k

8. Початки аналізу

42. Обчислити значення функції у=(х-4)² (х + 3)² у точ­ці х₀ = -1.

Розв'язання:

Знайдемо похідну функції:

у' = 2(х - 4) (х + 3)² + 2(х - 4)² (х + 3) = 2(х - 4) (х + 3) (х + 3 + х - 4) =

=2(х² - х - 12)(2х -1) = 2(2х³ - 2х² – 24х - х² + х + 12) =

=2 (2х³ - 3х² - 23х + 12) = 4 х³ - 6х² - 46х + 24.

Обчислимо значення похідної у точці х₀ = -1:

у'(-1)= 4 (-1)³ - 6 (-1)² - 46 (-1) + 24 = - 4 - 6 + 46 + 24 = 60.

Можливий інший шлях знаходження похідної:

у = ((х- 4)(х + 3))² = (х² - х - 12)².

у' = 2(х² - х-12)(2х-1).

у'(-1) =2((-1)²-(-1)-12)(2(-1)-1) = 2(1+1-12)(-2-1) =2(-10)(3)=60, або

у = (х²-х-12)² =х⁴ +х² +144 - 2х³ -24х² +24х = х⁴ -2х³ -23х² +24х+144;

у'= 4х³ - 6х² - 46х + 24. у'(-1) = 60.

Відповідь. 60.

43. Знайти рівняння дотичної до графіка функції у = ln(2х + 2)

у точці х₀ =

Розв'язання:

Рівняння дотичної до графіка функції у точці (х₀; у₀) має вигляд:

у = f(х₀) + f'(х₀)(х- х₀), де f(х₀) = f(- = ln(2(- + 2) = ln1 = 0.

Знайдемо похідну функції і значення похідної в точці х₀ = :

f'(х) = у' = f'(-

Тому у = 0 + 2 (х + ) або у = 2х + 1.

Відповідь. у = 2х + 1.

44. Знайти критичні точки функції у =

Розв'язання:

Дана функція визначена на всій числовій прямій. Знайдемо по­хідну:

у' = =

Похідна визначена на всій числовій прямій. Тому критичні точки функції знайдемо, розв'язавши рівняння у' = 0:

х² + 2х - 3 = 0; х = -3, х = 1.

Відповідь. -3; 1.

45. Знайти проміжки, на яких функція у = 3х⁴ + 8х³ - 18х² – 6

зро­стає.

Розв'язання:

Дана функція визначена на всій числовій прямій. Знайдемо похі­дну:

у' = 12х³ + 24х² - 36х = 12х (х² + 2х - 3). Якщо у' > 0, то функ­ція зростає. Матимемо: 12х(х² + 2х - 3) > 0; х(х + 3)(х -1) > 0. Роз­в'яжемо дану нерівність методом інтервалів.

y' > 0 при х (-3; 0) (1; ). Враховуючи, що дана функція неперервна на всій числовій прямій, зокрема у точках х = -3, х = 0, х = 1, проміжками її зростання є [-3; 0] і [1; + ).

Відповідь. [-3; 0] і [1; +

46. Дослідити функцію y = х⁴ + х³ - х² .

Розв'язання:

1.D(у) = , бо у - ціла раціональна функція.

2. Функція у ні парна ні непарна, бо

у(-х) = (-х)⁴ + (-х)³ - (-х)² = х⁴ + х³ - х² ≠ у(х).

Графік функції не симетричний ні відносно осі ординат, ні відносно початку координат.

3. Очевидно функція неперіодична.

4. Знайдемо нулі функції, розв'язавши рівняння у = 0:

х⁴ + 0; 3х⁴ + 4х³ - 12х² = 0; х²(3х² + 4х – 12) = 0;

х = 0, х = = = (-1 ).

Отже, нулями функції є точки х = 0, х = (-1 - ), х = (-1 + ).

5. З віссю ординат х = 0 графік функції перетинається в точці (0; 0) бо у(0) = 0;

у(1) = ·1⁴ + · 1³ - 1² = + - 1 = - ;

у(0) = 0; у(-2) = (-2)⁴ + (-2)² - (-2)² = -2 .

47. Знайти найбільше і найменше значення функції у = на проміжку [-3; -0,5].

Розв'язання:

Областю визначення функції є множина всіх дійсних чисел, крім

х = 1. На проміжку [-3;-0,5] дана функція є неперервною. Знайдемо похідну і критичні точки функції:

у' = = = ;

у ' = 0, коли х² - 2х -3 = 0,

х ≠ 1; х = -1, х = 3.

Точка х =3 не належить відрізку [-3; -0,5]. Знайдемо значення функції в точках х =-3, х=-1, х = -0,5:

у(-3) = = = = -3;

у(-1) = = = = -3;

у(-0,5) = = = = =

│-3; -0,5│

│-3; -0,5│

min у(х) = у(-3) = -3, max у(х) = у(-1) = -2.

48. Для функції у = знайти первісну, графік якої проходить через точку А( ; ).

Розв'язання:

Перетворимо добуток у суму:

= (

Знайдемо первісну для даної функції:

F(x) = ( C = + C.

Врахувавши, що F( = знайдемо С:

С = 0. Отже, F(х) =

Відповідь. F(х) =

49. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями

у = -х² + 2х + 3, у = 2х² - 4х + 3.

Розв'язання:

Знайдемо абсциси точок перетину заданих ліній:

2х² - 4х + 3 = -х² + 2х + 3:

3х² - 6х = 0;

3х(х-2) = 0;

х = 0 або х = 2.

Отже, нижня межа інтегрування - 0, верхня - 2. Площу фігури S знаходимо як різницю площ двох криволінійних трапецій.

S = S₁ - S₂ =

=

=

0

(-х³+3х²)| ^² += -2³+ 3 · 2² - 0 = -8 +12 = 4 кв.од.

Відповідь. 4 кв. од.