Міністерство освіти і науки України

Головне управління освіти і науки Київської обласної державної адміністрації

Богуславський гуманітарний коледж імені І.С. Нечуя-Левицького

Готуємось до дпа з математики Посібник для студентів 1-2 курсів

Богуслав 2014

Посібник з математики для студентів вищих навчальних закладів І-ІІ рівнів акредитації.

Укл. Л.І.Федорченко. Богуслав, 2014. - 50с.

Обговорено і схвалено на засіданні викладачів природничо-математичних дисциплін Богуславського гуманітарного коледжу імені І.С. Нечуя-Левицького

Протокол № від 2014р.

Укладач: Федорченко Любов Іванівна – викладач математики Богуславського гуманітарного коледжу імені І.С. Нечуя-Левицького, спеціаліст вищої категорії

Посібник складений у відповідності до Програми з математики для вищих навчальних закладів 𝗅 ـ 𝗅𝗅 рівнів акредитації, які здійснюють підготовку молодших спеціалістів на основі базової загальної середньої освіти

(К., 2010 р).

Передмова

Студенти 1, 2 курсів навчаються за підручниками різних авторів, тому в посібнику матеріал подано таким чином, що він не суперечить жодному з них, а є лише логічним поєднанням їхнього змісту.

Цей посібник призначений для повторення , узагальнення та систематизації, швидкої самостійної підготовки до ДПА з математики. Посібник складається з 4 розділів, це зокрема такі:

- І розділ, в якому наведено взірці розв’язування математичних вправ;

- ІІ розділ, в якому вміщено завдання для самоконтролю, до того ж запропоновані практичні завдання двох рівнів;

- ІІІ розділ, в якому подано означення і формули з курсу математики;

- ІV розділ, в якому подано варіанти відповідей.

Посібник укладено так, що математичні закони та формули зрозумілі і без додаткових пояснень, тому до ДПА з математики можна підготовитись і самостійно.

Розділ I. ВЗІРЦІ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ ВПРАВ

1. Розв'язування рівнянь

Лінійні рівняння

1. 7 – х – .

Розв'язання:

Позбудемось знаменників, помножимо обидві частини рівняння на 21:

147 – 42х - 3(1 - Зх) = 42 - 7(2х -1);

147 – 42х - 3 + 9х = 42 -14х + 7;

-33х + 14х = 49-144;

-19х = -95;

х = 5.

Відповідь. 5.

2. (х + 2)³ - (х - 2)³ = 12(х² - х) - 8.

Розв'язання:

Застосувавши формули скороченого множення, матимемо:

(х³ + bх² +12х + 8) - (х³ - bх² +12х - 8) = 12х² -12х - 8;

12х² -12х² +12х = -16 - 8;

одержали 12х = -24 лінійне рівняння, звідки х = -2.

Відповідь. -2.

Рівняння зі змінною в знаменнику

3. = 1.

Розв'язання:

Оскільки дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля , то одержимо систему:

2х - 3 = 0,

3х + 5 ≠ 0, , отже х = .

Відповідь. 1,5.

4.

Розв'язання:

Маємо:

х = 8,

х ≠ 2,

х ≠ -2,

отже х = 8.

вчареаоеап

2х – 16 = 0,

Відповідь. 8.

Квадратні рівняння

5. 2х² - 5х + 2 = 0.

Розв'язання:

Це повне квадратне рівняння, отже:

D

= (-5)² -4 · 2 · 2 = 9, D > 0 - рівняння має два розв'язки.

2,

Відповідь. 2; .

6. х² – 6х + 9 = 0.

Розв'язання:

D = (-6)² – 4 ·1·9 = 0, D = 0 - рівняння має один розв'язок.

Відповідь. 3.

7. 2х² + 8х + 19 = 0.

Розв'язання:

D = 8² – 4·2·19 = -88, D < 0 - рівняння розв'язків немає.

Відповідь. .

8. (х – 1) (х – 2)(х – 3) – (х² + 3)(х – 5) + (2х – 33) = 0.

Розв'язання:

Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки:

(х² – Зх + 2)(х – 3) – (х³ – 5х² + Зх – 15) + 2х – 33 = 0;

х³ – Зх² - Зх² + 9х + 2х – 6 – х² + 5х² – Зх +15 + 2х – 33 = 0;

-х² + 10х – 24 = 0, домножимо на (-1):

х² – 10х + 24 = 0.

За теоремою Вієта, маємо:

х₁ = 6; х₂ = 4.

вчареаоеап

х₁ · х₂ = 24,

х₁ + х₂ = 10,

Відповідь. 4;6.

.

Розв'язання:

= 0, х₁ = 2, х₂ = 4, отже х = 4.

х ≠ 0, х ≠ 2.

Відповідь. 4.

10. х⁴ – 10х² + 9 = 0.

Розв'язання:

Нагадаємо, що рівняння виду ах⁴ + bх² + с = 0, де а ≠ 0, називається біквадратним. Розв'яжемо його методом введення нової змін­ної. Нехай х² = у, тоді одержимо рівняння:

у² – 10у + 9 = 0, звідки у_₁ =1, у₂ = 9.

Так, як у = х², то маємо:

х² = 1, х² = 9,

х₁ = 1, х₂ = - 1; х₃ = 3, х₄ = -3.

Відповідь. ±1; ±3.

11. (х² - Зх)² + 3(х² - Зх) - 28 = 0.

Розв'язання:

Нехай х² -3х = у, одержимо рівняння:

у² + 3у - 28 = 0, звідки у₁= - 7, у₂ = 4.

х² - 3х = -7; х² - 3х = 4;

х² - 3х + 7 = 0; х² - 3х – 4 = 0;

D = (-3)² - 4·1·7 = -19; D = (-3)² - 4·1·(-4) = 25,

Розв'язків немає. х₁ = 4, х₂ = - 1.

Відповідь. -1; 4.

Показникові, логарифмічні, ірраціональні рівняння

12. Розв'язати рівняння

3 · 25 ^х - 8 · 15 ^х + 5 · 9^х = 0.

Розв'язання:

3 · 5 ^2х - 8 · 5 ^х·3 ^х + 5 · = 0;

або х = 0 або х = 1.

Відповідь. 0; 1.

13. Розв'язати рівняння log_х (2 - х) = 2.

Р

х² + х – 2 = 0,

0 х 2,

х ≠ 1,

х = 1, х = -2,

0 < х < 2,

х ≠ 1.

озв'язання:

2 – х = х²,

х

х > 0,

х ≠ 1,

2 - х> 0,

Відповідь. .

14. Розв'язати рівняння = -x .

Р

х -3,

х 2,

х 0,

2х² +х-6=0,

озв'язання: