1.6. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля

Если в электростатическом поле точечного заряда Q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории (рис.13) перемещается другой точечный заряд Q₀, то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа силы на элементарном перемещении равна

.

Так как d cosα=dr, то

.

Работа при перемещении заряда Q из точки 1 в точку 2

(1.12)

не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек.

Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенци­ал ь н ы м, а электростатические силы - консервативными.

Из формулы (1.12) следует, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замк­нутому пути L, равна нулю, т.е.

Рис. 13 . (1.13)

Из формулы (1.12) следует, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замк­нутому пути L, равна нулю, т.е.

. (1.13)

Если в качестве заряда, переносимого в электростатическом поле, взять единичный точечный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на пути равна , где Е₁ = Е cosα - проекция вектора на на­правление элементарного перемещения. Тогда формулу (1.13) можно записать в виде

. (1.14)

Интеграл называется циркуляцией вектора напряженности. Следовательно, циркуляция вектора напряженности элек­тростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Силовое поле, обладающее свойством (1.14), называется потенциальным. Из об­ращения в нуль циркуляции векторе следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми, они начинаются и кон­чаются на зарядах (соответственно на положительных или отрицательных) или же уходят в бесконечность.

1.7. Потенциал электростатического поля

Тело, находящееся в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией, за счет которой силами поля совершается работа. Как известно, рабо­та консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии. По­этому работу сил электростатического поля можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд Q₀ в начальной и конечной точках поля заряда Q:

, (1.15)

откуда следует, что потенциальная энергия заряда Q₀ в поле заряда Q равна

.

Она определяется не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной С. Если считать, что при удалении заряда в бесконечность (r→∞) потенциальная энергия обращается в нуль (U=0), то С=0 и потенциальная энергия заряда Q₀, находящегося в поле заряда Q на расстоянии г от него, равна

. (1.16)

Для одноименных зарядов Q_oQ>0 и потенциальная энергия их взаимодей­ствия (отталкивания) положительна, для разноименных зарядов Q_oQ<0 и по­тенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.

Если поле создается системой п точечных зарядов Q_i, Q₂, , Q_n, то работа электростатических сил, совершаемых над зарядом Qo, равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности. Поэтому потенциальная энергия U заряда Q_o, находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий U_j, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

. (1.17)

Ил формул (1.16) и (1.17) вытекает, что отношение — не зависит от Q₀ и является поэтому энергетической характеристикой электростатического поля, называемой потенциалом:

. (1.18)

25. Потенциал электростатического поля. Разность потенциалов. Связь потенциала и напряженности. Эквипотенциальные поверхности.

Потенциал φ в какой-либо точке электростатического поля есть фи­зическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положи­тельного заряда, помещенного в эту точку.

Из формул (1.18) и (1.19) следует, что потенциал поля, создаваемого то­чечным зарядом Q, равен

. (1.19)

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда Q_o из точки 1 в точку 2 (см. (1.15), (1.18), (1.19)), может быть представ­лена как

, (1.20)

т.е. равна произведению перемещаемого заряда на разность потенциалов в на­чальной и конечной точках. Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле определяется работой, совершаемой силами поля при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.

Если перемещать заряд Q₀ из произвольной точки за пределы поля, т.е. в бесконечность, где по условию потенциал равен нулю, то работа сил электро­статического поля, согласно (1.20),

A_∞ = Q₀φ,

откуда

. (1.21)

Таким образом, потенциал - физическая величина, определяемая ра­ботой по перемещению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки в бесконечность. Эта работа численно равна работе, совершае­мой внешними силами (против сил электростатического поля) по перемещению единичного положительного заряда из бесконечности в данную точку поля. Из выражения (1.18) следует, что единица потенциала - вольт (В): 1 В есть потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж (1 В =1 Дж/Кл).

Из формул (1.17) и (1.18) вытекает, что если поле создается несколькими зарядами, то потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме по­тенциалов всех этих зарядов:

.

Эквипотенциальные поверхности

Найдем взаимосвязь между напряженностью электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом - энергетической ха­рактеристикой поля

Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены беско­нечно близко друг к другу и x₂-x₁= x, равна E·Q· х. Та же работа равна . Приравняв оба выражения, можем записать

, (1.22)

где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование произ­водится только по х. Повторив аналогичные рассуждения для оси у и z, можно найти вектор :

.

где , , - единичные векторы координатных осей х, у, z.

Из определения градиента следует, что выражение можно записать как

, или , (1.23)

где - набла-оператор. Следовательно, напряженность E поля равна градиенту потенциала со знаком минус.

Знак минус определяется тем, что вектор напряженности поля направ­лен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения распределения потенциала электростати­ческого поля пользуются эквипотенциальными поверхностям и. Линии напряженности, а следовательно, вектор всегда перпендикуляр­ны к эквипотенциальным поверхностям. Поэтому работа по перемещению за­ряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю.

Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой систе­мы зарядов можно провести бесчисленное множество. Однако их обычно про­водят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними экви­потенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенци­альных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще, напряженность поля больше.

Рис. 14

На рис.14 для примера показан вид линий напряженности (штриховые ли­нии) и эквипотенциальных поверхностей (сплошные линии) полей положи­тельного точечного заряда (а) и заряженного металлического цилиндра, имею­щего на одном конце выступ, а на другом - впадину (б).

26. Связь потенциала и напряженности. Расчет разности потенциалов для поля равномерно заряженной бесконечной плоскости.