Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Для решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами составляется соответствующее характеристическое уравнение: .

• Если корни и характеристического уравнения действительны и различны, то общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

.

• Если и действительны и равны между собой, т.е. , то общее решение запишется в виде .

• Если корни являются комплексными числами , , то общее решение представляется в виде

.

Пример. Найти общие решения уравнений:

Решение.

а) Составим соответствующее характеристическое уравнение и решим его: , Согласно сказанному выше, общее решение можно записать в виде .

b) Составляем характеристическое уравнение , .Отсюда .

c) Характеристическое уравнение имеет решение .

_{Следовательно,}

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения можно записать в виде где - общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения, а Y - частное решение данного неоднородного уравнения.

Функция _Y может быть найдена методом неопределенных коэффициентов в следующих простейших случаях:

1) , где многочлен степени .

Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищут в виде , где многочлен степени с неизвестными коэффициентами.

Если - корень характеристического уравнения кратности

, то .

2)

Если не является корнем характеристического уравнения, то полагают ,

где многочлены степени .

Если корни характеристического уравнения кратности (для уравнений второго порядка ), то полагают .

_{Функцию, находящуюся в правой части линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, имеющую вид}

_{принято называть специальной правой частью.}

Пример. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения . Характеристическое уравнение имеет корни . Следовательно, .

Правая часть уравнения равна . Следовательно, , и поскольку не является корнем характеристического уравнения, то . Поэтому частное решение ищем в виде .

Дифференцируя _Y два раза и подставляя производные в данное уравнение, получим

Сокращая на и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей последнего равенства, находим:

Отсюда . Значит, общее решение данного уравнения имеет вид

.

Пример. Найти общее решение уравнения .

Решениe. Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения .

Характеристическое уравнение имеет корни (кратность корня ). Следовательно, .

Правая часть уравнения имеет вид . Тогда . Так как совпадает с корнем кратности , то частное решение ищем в виде .

Дифференцируя _Y два раза, подставляя в уравнение и приравнивая коэффициенты, получим: .

Общее решение данного уравнения имеет вид