Дослідження функції
Дослідження функції необхідно починати із знаходження її області визначення, але, на жаль, це операція, що важко автоматизується. Тому при розгляді цього питання доводиться вирішувати нерівності (див. тему II). Проте, відповісти на питання, чи визначена функція на всій числовій осі, чи ні, можна дослідивши її на безперервність.
Безперервність функції і точки розриву.
Перевірити безперервність функції f(x) на заданому проміжку [x1,x2] можна за допомогою команди iscont(f,x=x1..x2). Якщо функція f безперервна на цьому інтервалі, то в полі висновку з'явиться відповідь true – (істина); якщо функція f не є безперервною на цьому інтервалі, то в полі висновку з'явиться відповідь false – (брехня). Зокрема, якщо задати інтервал x=-infinity..+infinity, то функція f перевірятиметься на всій числовій осі. В цьому випадку, якщо буде отримана відповідь true, то можна сказати, що функція визначена і безперервна на всій числовій осі. В іншому випадку слід шукати точки розриву. Це можна зробити двома способами:
за допомогою команди discont(f,x), де f – функція, досліджувана на безперервність, x – змінна. Ця команда придатна для знаходження точки розриву першого і другого роду.
за допомогою команди singular(f,x), де f – функція, x – змінна. Ця команда годиться для знаходження точок розриву другого роду як для дійсних значень змінної, так і для комплексних.
Перед використовуванням цих команд їх слід обов'язково завантажити із стандартної бібліотеки readlib(name), де name – ім'я будь-якої з вказаних вище команд.
Обидві ці команди видають результати у вигляді переліку точок розриву у фігурних дужках. Тип такого запису називається set. Для того, щоб надалі можна було використовувати отримані значення точок розриву, треба з типу set за допомогою команди convert перевести їх в звичайний числовий тип.
Екстремуми. Найбільше і найменше значення функції.
В Maple для дослідження функції на екстремум є команда extrema(f,{cond},x,’s’), де f - функція, екстремуми якої шукаються, у фігурних дужках {cond} указуються обмеження для змінної, х – ім'я змінної, по якій шукається екстремум, в апострофах ’s’ – указується ім'я змінної, якій буде привласнена координата точки екстремуму. Якщо залишити порожньою фігурні дужки {}, то пошук екстремумів проводитиметься на всій числовій осі. Результат дії цієї команди відноситься до типу set. Приклад:
> readlib(extrema):
> extrema(arctan(x)-ln(1+x^2)/2,{},x,’x0’);x0;
{{x=1}}
В першому рядку висновку приводиться екстремум функції, а в другому рядку висновку – точка цього екстремуму.
Для знаходження максимуму функції f(x)
по змінній х на інтервалі
використовується команда
maximize(f,x,x=x1..x2), а для знаходження
мінімуму функції f(x) по змінній х на
інтервалі
використовується команда minimize(f,
x, x=x1..x2). Якщо після змінної вказати
’infinity’ або інтервал x=-infinity..+infinity,
то команди maximize і minimize шукатимуть,
відповідно, максимуми і мінімуми на
всій числовій осі як в безлічі дійсних
чисел, так і комплексних. Якщо такі
параметри не указувати, то пошук
максимумів і мінімумів проводитиметься
тільки в безлічі дійсних чисел. Приклад:
> maximize(exp(-x^2),{x});
1
Недолік цих команд в тому, що вони видають тільки значення функції в точках максимуму і мінімуму, відповідно. Тому для того, щоб повністю вирішити задачу про дослідження функції y=f(x) на екстремуми з вказівкою їх характеру (max або min) і координат (x, у) слід спочатку виконати команду:
> extrema(f,{},x,’s’);s;
а потім виконати команди maximize(f,x); minimize(f,x). Після цього будуть повністю знайдені координати всіх екстремумів і визначені їх характери (max або min).
Команди maximize і minimize швидко
знаходять абсолютні екстремуми, але
не завжди придатні для знаходження
локальних екстремумів. Команда extrema
обчислює так само критичні точки, в
яких функція не має екстремуму. В цьому
випадку екстремальних значень функції
в першому рядку висновку буде менше
ніж обчислених критичних точок в другому
рядку висновку. З'ясувати характер
знайденого екстремуму функції f(x)
в точці x=x0 можна, якщо обчислити
другу похідну в цій точці і по її знаку
зробити висновок: якщо,
то в точці x0 буде min, а якщо
то max.
Координати точок максимуму або мінімуму можна отримати, якщо в параметрах цих команд після змінної записати через кому нову опцію location. В результаті в рядку висновку після самого максимуму (мінімуму) функції будуть у фігурних дужках вказані координати точок максимуму (мінімуму). Наприклад:
> minimize(x^4-x^2, x, location);
,
{
,
}
В рядку висновку вийшли координати мінімумів і значення функції в цих точках.
Команди extrema, maximize і minimize обов'язково повинні бути завантажені із стандартної бібліотеки командою readlib(name), де name – ім'я завантажуваної команди.
Дослідження функції по загальній схемі.
Область визначення функції f(x) – повністю може бути вказаний після дослідження функції на безперервність.
Безперервність і точки розриву функції f(x) досліджуються по схемі:
> iscont(f, x=-infinity..infinity);
> d1:=discont(f,x);
> d2:=singular(f,x);
В результаті наборам змінним d1и d2 будуть привласнені значення x-координат в точках розриву 1 і 2-го роду (якщо вони будуть знайдені).
Асимптоти. Точки нескінченних розривів визначають вертикальні асимптоти графіка f(x). Рівняння вертикальної асимптоти має вигляд:
> yr:=d2;
Поведінка функції f(x) на нескінченності характеризується похилими асимптотами (якщо вони є). Рівняння похилої асимптоти y=kx+b, де коефіцієнти обчислюються по формулах:
і
.
Аналогічні формули для
.
Тому знаходження похилих асимптот
можна провести по наступній схемі:
> k1:=limit(f(x)/x, x=+infinity);
> b1:=limit(f(x)-k1*x, x=+infinity);
> k2:=limit(f(x)/x, x=-infinity);
> b2:=limit(f(x)-k2*x, x=-infinity);
Часто виявляється, що k1=k2 і b1=b2,
в цьому випадку буде одна асимптота
при
і при . З урахуванням цього складається
рівняння асимптоти
> yn:=k1*x+b1;
Екстремуми. Дослідження функції f(x) на екстремуми можна проводити по схемі:
> extrema(f(x) {}, x, ’s’);
> s;
> fmax:=maximize(f(x), x);
> fmin:=minimize(f(x), x);
Після виконання цих команд будуть знайдені координати (x, у) всіх максимумів і мінімумів функції f(x).
Побудова графіка.
Побудова графіка функції f(x) – це остаточний етап дослідження функції. На малюнку крім графіка досліджуваної функції f(x) повинні бути нанесений всі її асимптоти пунктирними лініями, підписані координати точок max і min. Прийоми побудови графіків декількох функцій і нанесення написів були розглянуті в темі III.