Математичний аналіз: диференціальне і інтегральне обчислення функції однієї змінної

1. Обчислення меж.

2. Диференціювання.

3. Дослідження функції.

4. Інтеграція.

Обчислення меж

В Maple для деяких математичних операцій існує по дві команди: одна прямого, а інша – відкладеного виконання. Імена команд складаються з однакових букв за винятком першої: команди прямого виконання починаються з рядкової букви, а команди відкладеного виконання – із заголовної. Після звернення до команди відкладеної дії математичні операції (інтеграл, межа, похідна і т.д.) виводяться на екран у вигляді стандартного аналітичного запису цієї операції. Обчислення в цьому випадку відразу не проводиться. Команда прямого виконання видає результат відразу.

Для обчислення меж є дві команди:

1. прямого виконання – limit(expr,x=a,dir), де expr – вираз, межу якого слід знайти, а – значення точки, для якої обчислюється межа, dir – необов'язковий параметр для пошуку односторонніх меж (left – зліва, right – справа) або вказівник типу змінної (real – дійсна, complex – комплексна).

2. відкладеного виконання – Limit(expr,x=a,dir), де параметри команди такі ж, як і у попередньому випадку. Приклад дій цих команд:

> Limit(sin(2*x)/x,x=0);

> limit(sin(2*x)/x,x=0);

2

За допомогою цих двох команд прийнято записувати математичні викладення в стандартному аналітичному вигляді, наприклад:

> Limit(x*(Pi/2+arctan(x)),x=-infinity)=

limit(x*(Pi/2+arctan(x)), x=-infinity);

Односторонні межі обчислюються з вказівкою параметрів: left – для знаходження межі зліва і righ – справа. Наприклад:

> Limit(1/(1+exp(1/x)),x=0,left)=

limit(1/(1+exp(1/x)),x=0,left);

> Limit(1/(1+exp(1/x)),x=0,right)=

limit(1/(1+exp(1/x)), x=0,right);

Диференціювання

Обчислення похідних.

Для обчислення похідних в Maple є дві команди:

1. прямого виконання – diff(f,x), де f – функція, яку слід продиференціювати, x – ім'я змінної, по якій проводиться диференціювання.

2. відкладеного виконання – Diff(f,x), де параметри команди такі ж, як і в попередній. Дія цієї команди зводиться до аналітичного запису похідній у вигляді . Після виконання диференціювання, отриманий вираз бажано спростити. Для цього слід використовувати команди simplify factor або expand, залежно від того, в якому вигляді вам потрібен результат.

Приклад:

> Diff(sin(x^2),x)=diff(sin(x^2),x);

Для обчислення похідних старших порядків слід вказати в параметрах x$n, де n – порядок похідної; наприклад:

> Diff(cos(2*x)^2,x$4)=diff(cos(2*x)^2,x$4);

Отриманий вираз можна спростити двома способами:

> simplify(%);

> combine(%);

Диференціальний оператор.

Для визначення диференціального оператора використовується команда D(f) – f-функция. Наприклад:

> D(sin);

cos

Обчислення похідної в точці:

> D(sin)(Pi):eval(%);

-1

Оператор диференціювання застосовується до функціональних операторів

> f:=x-> ln(x^2)+exp(3*x):

> D(f);