§ 3.5. Оценивание результата и погрешности косвенных измерений с многократными наблюдениями

Искомое значение физической величины Y и оценка погрешности при косвенных измерениях (см. § 1.2) определяются на основании результатов измерений m аргументов Х₁, Х₂, ..., X_j, ..., Х_m, связан­ных с искомой величиной уравнением

Y = ƒ ( Х₁, X₂ ,...,X_j,..., X_m). (3.11)

Вид функции ƒ должен быть известен из теоретических предпо­сылок или установлен экспериментально с погрешностью, которой можно пренебречь. Результаты измерений аргументов и оценки их погрешностей, как правило, получают путем проведения прямых измерений.

По виду функциональной зависимости (3,11) принято различать косвенные измерения с линейной и нелинейной зависимостями между измеряемой величиной и измеряемыми аргументами (или линейные и нелинейные косвенные измерения) .

Обработка экспериментальных данных косвенных измерений ба­зируется на использовании положений теории вероятностей и мате­матической статистики [9, 10] о характеристиках функций случай­ных величин. В соответствии с этими положениями оценкой истин­ного значения физической величины F, определяемой как функция случайных величин (аргументов), может служить ее значение Р, полученное после выполнения вычислительных операций со сред­ними арифметическими значениями ₁, ₂, ..., _j, ..., _m аргументов в соответствии с этой функцией, т. е.

= ƒ( ₁, ₂, ..., _j, ..., _m). (3.12)

При этом среднеквадратическое отклонение результата косвен­ного (линейного или нелинейного) измерения 5(f) в случае, когда величины — аргументы некоррелированы, т. е. не связаны между собой (наиболее важный для практики случай), определяют по фор­муле

(3.13)

где S( ) — оценка среднеквадратического отклонения результата измерения j-го аргумента, определяемого путем обработки результатов прямого измерения его в последовательности, изложенной в § 3.4; —частные погрешности косвенного измерения.

Частные производные = E_j принято называть коэффициентами влияния, а формулу (3.13) — формулой вероятностного, или статистического, суммирования.

Относительную оценку среднеквадратического отклонения результата косвенного измерения на основании (3.12) и (3.13) опреде­ляют по формуле

(3.14)

Так как

, (3.15)

то (3.14) можно представить в виде

(3.16)

В выражениях (3.13) — (3.16) значения частных производных и вычисляют по значениям аргументов Х₁, Х₂, ..., Х_m соответственно равным ₁, ₂, ..., _m, т. е. по оценкам прямых из­мерений. Таким образом, эти величины определяют приближенно. В некоторых частных, но важных для практики случаях коэффи­циенты влияния могут быть определены точно. Рассмотрим эти случаи.

1. Функция Y=ƒ(X₁, X₂, ..., Х_m) является линейной, т. е.

(3.17)

где а_j — постоянные коэффициенты.

Коэффициенты влияния

E_j = = a_j, (3.18)

т. е. для абсолютных погрешностей коэффициенты влияния в дан­ном случае равны коэффициентам перед переменными в линейной функции E_j=a_j. С учетом (3.18) выражение (3.13) преобразуем к виду

(3.19)

2. Функция Y=ƒ(X₁, Х₂, ..., Х_m) — логарифмируема, т. е.

(3.20)

В этом случае удобно использовать относительные погрешности. Из (3.15) получим

= (3.21)

Для частной относительной погрешности [см. выражение получим (3.16)] получим

(3.22)

где — оценка относительного среднеквадратическо­го отклонения результата измерения аргумента X_j.

Как видно из (3.22), коэффициенты влияния для относительных погрешностей оказываются в данном случае равными показателям степени соответствующих аргументов W_j = b_j. Поэтому (3.16) можно представить в виде

(3.23)

Если функция ƒ(X₁, X₂, ..., Х_m) сложная, то для определения оценки среднеквадратического отклонения результата косвенного измерения в ней выделяют отдельные зависимости — фрагменты, которые принимают за новые переменные Z₁, Z₂, ..., Z_l, и для них вычисляют оценки среднеквадратических отклонений результатов измерений. Это позволяет свести названную функцию относительно новых переменных к рассмотренным линейной или логарифмируе­мой функции и определить оценки среднеквадратического результа­та косвенного измерения (см. приложение 4).

Для определения интервальной оценки погрешности результата косвенного измерения, когда результаты наблюдений, полученные в процессе прямых измерений величин — аргументов, имеют нор­мальный закон распределения, используют распределение Стьюдента.

Доверительную границу случайной погрешности результата ко­свенного измерения вычисляют по формуле

. (3.24)

В выражении (3.24) коэффициент Стьюдента t определяется по таблице (см. приложение 2) для принятого или заданного значения доверительной вероятности и известного эффективного числа степе­ней свободы k_ЭФ, которое определяется по формуле

k_ЭФ = (3.25)

где n_j —число наблюдений, выполненное при измерении j-го аргу­мента.

Последовательность обработки экспериментальных данных кос­венных измерений с многократными наблюдениями для некорре­лированных величин приведена на рис. 3.2. Эта последовательность предусматривает, что для аргументов, получаемых путем прямых измерений, справедливы все предположения, изложенные в § 3.4. На рис. 3.2 в п. 10 запи­сана погрешность Δ вместо ψ_Д, так как предполагается, что систематические погрешности полностью исключены. Число n указано, для того аргумента при измерении которого выпол­нено наименьшее число наблю­дений. Для случая, когда зна­чениями неисключенных систе­матических погрешностей нель­зя пренебречь, разработана ме­тодика оценки суммарной по­грешности [29], близкая к ранее приведенной для прямого изме­рения с многократным наблю­дениями.

При определении погрешно­сти косвенного измерения важ­ными являются установление частных погрешностей, которые в основном определяют погреш­ность косвенного измерения, и исключения из рассмотрения тех погрешностей, которые не оказывают на общую погреш­ность почти никакого влияния. Определение последних связа­но с процедурой округления ре­зультата измерения и оценки погрешности.

Если в выражении (3.13) какая-либо частная погреш­ность такова, что выполняется условие

(3.26)

то этой частной погрешностью можно пренебречь, так как при округлении уже число 1,0499... принимается за 1,0.

Получение результатов наблюдений величин X₁, Х₂,..., Х_j,..., Х_m

1

Вычисление средних арифметических ₁, ₂, ..., _j, ..., _m по формуле (3.3)

2

Вычисление значения по формуле (3.12)

3

Вычисление оценок среднеквадратических отклонений результатов измерений величин X₁, X₂, ..., X_j ,..., Х_m по формуле (3,5)

4

Вычисление оценки среднего квадратического отклонения измерения ве­личины Y по формуле (3.13)

5

Вычисление числа степени свободы К_ЭФ по формуле (3.25)

6

Принятие значения доверительной вероятности Р_Д (обычно Р_Д = 0,95)

7

Определение коэффициента t в зависимости от Р_Д и К_ЭФ по таблице распределения Стьюдента

8

Определение доверительной границы случайной погрешности ψ_Д по формуле (3.24)

9

Запись результата измерения с использованием правил округления в виде:

А = ± Δ(Р_Д=; К_ЭФ=; n=)

10

Рис. 3.2. Последовательность обработки экспериментальных данных косвенных измерений с многократными наблюдения­ми

Из выражения (3.26) можно получить формулу [9] для вычис­ления k-й частной погрешности:

< 0,3S ( ). (3.27)

Это выражение называют критерием ничтожности погрешности. По­грешности, отвечающие этому критерию, называют ничтожными или ничтожно малыми, поэтому их не принимают во внимание при вы­числении общей оценки погрешности косвенного измерения.