Тема 7. Адаптивные методы прогнозирования

При использовании адаптивных процедур для прогнозирования временного ряда предполагается, что информационная ценность данных понижается с удалением от прогнозируемого периода. Адаптивные модели подразумевают устаревание данных и, как следствие, снижение ценности и важности ошибок.

1. Простое экспоненциальное сглаживание Брауна

Экспоненциальное сглаживание Брауна представляет собой процедуру расчета некоторого средневзвешенного значения ряда, для которого веса наблюдений, участвующих в расчете среднего значения, убывают в геометрической прогрессии. Скорость убывания определяется параметром сглаживания, который принимает значения от 0 до 1. Чем ближе он к единице, тем быстрее убывает значимость прошлых наблюдений.

,

Как и для любых процедур сглаживания, прогнозом является последнее доступное сглаженное значение.

Модельная дисперсия сглаженного временного ряда находится по формуле:

,

где – дисперсия исходного ряда.

Для выбора параметра сглаживания будем минимизировать сумму квадратов ошибок прогноза. При этом в качестве прогнозных значений для каждого уровня будем принимать последнее доступное сглаженное значение.

Если в результате подбора значений а, получаются значения 0 или 1, то это свидетельствует либо о случайности (если 0) или о наличии тенденции (1). Таким образом, экспоненциальное сглаживание Брауна дает хорошие результаты для стационарных временных рядов.

Доверительный интервал прогноза по простому экспоненциальному сглаживанию Брауна находится по формуле:

,

– последнее сглаженное значение

– стандартное отклонение.

Многократное экспоненциальное сглаживание – это процедура экспоненциального сглаживания, проведенная над предварительно сглаженными, методом экспоненциального сглаживания, данными. Количество раз соответствует количеству проведенными над исследуемыми данными, называется порядком сглаживания.

2. Линейное экспоненциальное сглаживание

Процедура линейного экспоненциального сглаживания Брауна предполагает, что на каждом периоде сглаживания оцениваются параметры некоторой адаптивной линейной модели. Для данной процедуры справедливы некоторые зависимости между параметрами адаптивной линейной функции и сглаженными значениями 1-го и 2-го порядков.

Для определения начальных условий рассчитываем:

,

Для данной процедуры справедливы некоторые зависимости между параметрами адаптивной линейной функции и сглаженными значениями 1-го и 2-го порядков.

Начальные значения коэффициентов a_1 и a_2 определяются из первых двух уровней ряда.

Окончательно точечный прогноз по модели линейного экспоненциального сглаживания Брауна на момент времени T:

Модельная дисперсия находится по формуле:

Среднеквадратичное отклонение:

3. Квадратичное экспоненциальное сглаживание Брауна

Квадратичное экспоненциальное сглаживание предполагает, что аппроксимация уровня ряда производится с помощью адаптивного полинома (парабола 2-го порядка).

,

Начальные условия:

,

,

Тогда экспоненциальные средние первого, второго и третьего порядков могут быть подсчитаны по следующим формулам:

,

,

,

а оценки коэффициентов модели могут быть оценены из системы уравнений:

Окончательно точечный прогноз по модели экспоненциального среднего второго порядка на момент времени T:

Среднеквадратическая ошибка отклонения от квадратичного тренда, которую определяем по формуле:

.

Модельная дисперсия: