Тема 5. Моделирование сезонной компоненты временного ряда

Сезонная компонента – отображает фиксированные неслучайные отклонения уровней ряда от трендовой компоненты, имеющей годовую периодичность.

1. Выделение сезонной компоненты на основе t критерия Стьюдента.

При выделении реализуется следующая последовательность шагов:

1) Из каждого уровня ряда исключается влияние трендовой компоненты

2) Рассчитывается среднее значение и дисперсии остатков для каждого предполагаемого периода сезонности

	1 год	2 год	…	6 год
1 квар	Y1-tn1	Y5-tn5		Y21-tn21	S1
2 квар	Y2-tn2				S2
3 квар	Y3-tn3				S3
4 квар	Y4-tn4			Y211-tn211	S4

Если t_p>tтаб, то S_i = S_i

t_p<tтаб, то S_i = 0

,

tr₁ = a₀ + a₁ * 1

– стандартная ошибка модели

При расчете доверительного интервала будем использовать:

1) ДИ =

2) ДИ =

2. Выделение сезонной компоненты на основании метода сглаживания

Процедура сглаживания представляет собой алгометрическую процедуру, в результате которой исходным уравнением ряда ставится соответствующие некоторые расчетные по определенному правилу значения, при этом сглаженные значения обладают тем свойством, что сохраняя общий вид тенденции обладает меньшей дисперсией, то есть в сглаженных значениях существенно снижено влияние случайной компоненты.

Для выделения: простое скользящее среднее.

Так как сумма сезонных компонент в рамках полного цикла сезонности равна нулю, то проведение процедуры простого скользящего среднего при периоде сглаживания равном полному циклу сезонность позволяет полностью устранить влияние сезонной компоненты.

Tr₃ =

Первая и вторая рассчитаны быть не могут

Tr₄ =

И так далее

Следующим шагом находим отклонение уровней ряда от расчетных оценок трендовых значений. Эти отклонения будут представлять собой сезонность. Тогда предварительная оценка сезонной компоненты определяется как среднее значение соответствующих отклонений уравнения ряда от трендовых значений.

Для того чтобы отыскать истинное значение сезонной компоненты необходимо из каждого предварительного значения сезонной компоненты вычесть среднее значение.

Первая сезонная компонента:

После идентификации сезонных компонент проводим процедуру исключения сезонности, то есть из каждого уровня ряда вычитаем соответствующее значение сезонной компоненты. Полученное значение является десезонализированным.

После этого для десезонализированных определяем параметры линейного тренда, полученное значение сезонных компонент рассчитывается стандартное отклонение.

Тема 6. Прогнозирование временного ряда методами сглаживания

Процедуры сглаживания:

• аналитические – процедуры, при которых предполагается заранее известный вид зависимости тенденции от переменной времени;

• алгоритмические - процедуры сглаживания, в которых известен только алгоритм (правило) получения сглаженных значений на основе исходного временного ряда.

Сглаживающая кривая строится так, чтобы, сохраняя основную тенденцию, уменьшить колебания или дисперсию исходного временного ряда.

Алгоритмические процедуры сглаживания используются для:

1. выявления и визуализации общей тенденции за счет устранения влияния случайной компоненты;

2. прогнозирования временного ряда. При прогнозировании тенденции с помощью методов сглаживания применяется «наивный» подход к прогнозированию, т.е. прогнозным значением считается последнее доступное сглаженное значение.

Условия применения:

• доступные выборки данных очень маленькие;

• задачи прогнозирования слишком сложные.

Общая идея метода

Применение алгоритмических процедур сглаживания на основе взвешенного скользящего среднего предполагает реализацию следующих шагов:

1. Выбирается интервал сглаживания (меньше, чем длина исходного ряда).

2. На заданном интервале сглаживания по определенному заранее заданному алгоритму рассчитываются сглаженные значения.

3. Полученные сглаженные значения относятся к некоторому заданному наперед моменту времени.

4. В качестве точечного прогноза выбирается последнее доступное сглаженное значение.

Сглаженного значение определяется как средневзвешенная величина всех уровней ряда, попавших в период сглаживания. При этом сумма весов должна равняться 1, каждый вес должен быть неотрицателен.

Метод простого скользящего среднего

Данный метод исходит из предположения, что на каждом периоде сглаживания уровни ряда аппроксимируются линейной функцией ( .

Для каждого периода сглаживания подбирается кривая по методу наименьших квадратов.

Система нормальных уравнений:

Отсюда:

Сглаженное значение: , где

Для оценки качества моделей простого скользящего среднего для прогнозирования будем применять критерии прогностической пригодности.

Для каждой полученной модели найдем значения дисперсии модели, дисперсии ошибки, стандартного отклонения и значения критерия Стьюдента.

Дисперсия модели:

где – дисперсия по исходным данным

– период сглаживания

Дисперсия ошибки:

Стандартное отклонение ошибки:

Для расчета доверительного интервала прогноза воспользуемся формулой:

где – точечный прогноз (последнее сглаженное значение)

– количество сглаженных значений

Метод взвешенного скользящего среднего

При применении процедуры сглаживания, в основе которой лежит данный метод, предполагается, что на периоде сглаживания уровни ряда аппроксимируются параболой второго порядка. Реализация данного метода возможна при минимальном периоде сглаживания, равном 5.

Расчет сглаженных значений по данному методу осуществляется по следующим формулам (для периодов сглаживания=5,7,9):

5:

7:

9:

Для расчета доверительного интервала прогноза воспользуемся формулой:

где .