3 Минимизация логических функции методом карт Веича (Карно)

Метод Квайна имеет четко сформулированные правила прове­дения отдельных операций, благодаря чему он может быть исполь­зован для минимизации функций с использованием ЭВМ в тех случаях, когда минимизируемая функция достаточно сложна (со­держит большое число аргументов и каноническая форма имеет большое число членов). Однако для минимизации функции руч­ным способом (без использования ЭВМ) этот метод оказывается весьма трудоемким. Трудоемкость метода Квайна связана с не­обходимостью попарного сравнения всех членов выражения для выявления склеиваемых членов.

Метод минимизации функции с помощью карт Вейча обеспечи­вает простоту получения результата. Он используется при мини­мизации относительно несложных функций (с числом аргументов до 5) ручным способом. В отличие от метода Квайна этот метод требует элементов изобретательности и не может быть использо­ван для решения задачи минимизации с помощью ЭВМ. Карта Вейча прдставляет собой определенную форму таблицы истинно­сти. Табл. 2.10 являются картами Вейча для функций соответст­венно двух (а), трех (б), четырех (в) аргументов.

Каждая клетка карты соответствует определенному набору значений аргументов. Этот набор аргументов определяется при­своением значения логической 1 буквам, на пересечении строк и столб­цов которых расположена клетка (х₁ = 1, = 0).

Число клеток карты равно числу всех возможных наборов зна­чений аргументов 2ⁿ (п — число аргументов функций). В каждую из клеток карты записывается значение функции на соответству­ющем этой клетке наборе значений аргументов.

Пусть функция для трех аргументов задана выражением (10) при условии, что её значение при различных комбинациях аргументов равно 1.

F (x_1, x₂, x₃) = x₁ x₂  x₁ x₂ x₃   x₂ x₃   x₂ . (10)

С оставим карту Вейча для выражения 10 в соответствии со следующей методикой. В клетках карты Вейча, соответствующих комбинациям аргументов выражения (10) ставится 1 { F (x_1, x₂, x₃) = 1}, в остальных клетках 0 { F (x_1, x₂, x₃) = 0}.

Рис. 2 Рис. 3

Как видим, карта Вейча определяет значения функции на всех возможных наборах значений аргументов и, таким образом, яв­ляется таблицей истинности. Карты Вейча компактны, но главное их достоинство состоит в том, что при всяком переходе из од­ной клетки в соседнюю вдоль столбца или строки изменяется зна­чение лишь одного аргумента функции. Следовательно, если в па­ре соседних клеток содержится 1, то над соответствующими им членами канонической формы может быть проведена операция склеивания. Таким образом, облегчается поиск склеиваемых чле­нов.

Сформулируем правила получения МДНФ функций с помощью карт Вейча.

Все клетки, содержащие 1, объединяются в замкнутые обла­сти. При этом каждая область должна представлять собой пря­моугольник с числом клеток 2^h, где h = 1, 2,... Таким образом, допустимое число клеток в области равно - 2, 4, 8,... Области могут пересекаться и одни и те же клетки могут входить в разные об­ласти.

Затем проводится запись выражения МДНФ функции. Каж­дая из областей в МДНФ представляется членом, число букв в ко­тором на k меньше общего числа аргументов функции п (т. е. равно п—k). Каждый член МДНФ составляется лишь из тех аргу­ментов, которые для клеток соответствующей области имеют оди­наковое значение (без инверсии либо с инверсией).

Таким образом, при охвате клеток замкнутыми областями сле­дует стремиться, чтобы число областей было минимальным (при этом минимальным будет число членов в МДНФ функции), а каж­дая область содержала возможно большее число клеток (при этом минимальным будет число букв в членах МДНФ функции).

Рассмотрим минимизацию с помощью карты Вейча функции трех аргументов, представленной на рисунке 2.

Все клетки, содержащие 1, охватываются двумя областями. В каждой из областей 2¹ клеток. Таким образом, для них п-k = 3-1 = 2 и эти области в МДНФ будут представлены членами, содержащими по две буквы. Первой области соответствует член x₁ x₂ (аргумент х₃ здесь не присутствует, так как для одной клет­ки этой области он имеет значение без инверсии, для другой — с инверсией), второй области соответствует член  x₃. Следователь­но, МДНФ функции, представленной выражением (10), будет иметь вид

F (x_1, x₂, x₃) = x₁ x₂  x₃. (11)

При построении замкнутых областей допускается сворачива­ние карты в цилиндр с объединением ее противоположных гра­ней. В силу этого крайние клетки строки или столбца таблицы рас­сматриваются как соседние и могут быть объединены в общую об­ласть.

Для получения МКНФ функции замкнутыми областями охва­тываются клетки с нулевыми значениями функции (см. рис. 3), и при записи членов логического выражения берутся инверсии аргументов, на пересечении которых находятся области.

Так, для функции, при­веденной выражением (10), МКНФ будет иметь вид

F (x_1, x₂, x₃) = (x₁ x₃ )  (  x₂). (12)

Представление функции и минимизация ее с помощью карт Вейча усложняются, если число аргумен­тов больше четырех.