Лекция № 12. Минимизация логических функций возбуждения триггеров и выходных функций цифрового автомата
Учебные вопросы
Канонические формы представления логических функции
Минимизация логических функции методом Кваина
Минимизация логических функции методом карт Веича (Карно)
1 Канонические формы представления логических функции
Синтез логического устройства распадается на несколько этапов. На первом этапе требуется функцию, заданную в словесной, табличной или других формах, представить в виде логического выражения с использованием некоторого базиса. Дальнейшие этапы сводятся к получению минимальных форм функций, обеспечивающих при синтезе наименьшее количество электронного оборудования и рациональное построение функциональной схемы устройства. Для начального представления функции обычно используется базис И, ИЛИ, НЕ независимо от того, какой базис будет использован для построения логического устройства.
Исходными, из соображений удобства последующих преобразований, приняты следующие две канонические формы представления функций: совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) и совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ).
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ).
Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется такая форма представления функции, при которой логическое выражение функции строится в виде дизъюнкции ряда членов, каждый из которых является простой конъюнкцией аргументов или их инверсий.
Примером ДНФ может служить выражение
F(x1,
x2,
x3)
= x1
x2
x3
x2x3.
Приведем форму представления функций, не являющейся ДНФ. Например, функция F1 не является ДНФ так как не является простой конъюнкцией аргументов или их инверсий.
F1 (x1, x2, x3) = x1( x2 x3) x2x3.
Если
в каждом члене ДНФ представлены все
аргументы (или их инверсии) функции, то
такая форма носит название совершенной
дизъюнктивной нормальной формы (СДНФ).
Функция
F
не является СДНФ, так как в нем лишь
третий член
x3
содержит
все аргументы функции.
Для
перехода от ДНФ к СДНФ необходимо в
каждый из членов, в которых представлены
не все аргументы, ввести выражение вида
xi
,
где
-
отсутствующий
в члене аргумент. Так как xi
=
l,
такая
операция не может изменить значений
функции.
Покажем переход от ДНФ к СДНФ на примере следующего выражения:
f = x1 x2 .
Добавление в члены выражений вида x1 приведет функцию к виду
f = x1( x2 ) ( x3 ) x2 ( x1 ) =.
= x1 x2 x3 x1 x2 x1 x3 x1 x1 x2 x2 .
На основании закона идемпотенции преобразуем выражение
x1 x2 x1 x2 = x1 x2 и после приведения подобных членов
f = x1 x2 x3 x1 x2 x1 x3 x1 x2 .
Полученная форма является СДНФ.
Следует отметить, что любая функция имеет единственную СДНФ.
Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ).
Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется форма представления функции в виде конъюнкции ряда членов, каждый из которых является простой дизъюнкцией аргументов (или их инверсий).
Примером КНФ может служить следующая форма представления функции:
F = x1 (x2 )( )(x2 x3).
Приведенная ниже форма представления функции F2 не является КНФ, так как в ней первый член не связан с остальными операцией конъюнкции:
F2 (x1, x2, x3) = x1 (x2 )( x3)(x2 x3).
В совершенной конъюнктивной нормальной форме (СКНФ) в каждом члене КНФ должны быть представлены все аргументы.
Для
перехода от КНФ к СКНФ необходимо
добавить к каждому члену, не содержащему
всех аргументов, члены вида
,
где
-
аргумент,
не представленный в члене через
дизъюнкцию. Так как
=
0, то такая операция не может повлиять
на значение функции.
Рассмотрим переход от КНФ к СКНФ на примере функции
f = x1(x2 ).
Через операцию дизъюнкции к первому члену недостающие аргументы x2 и x3, а ко второму члену функции f - x1. В результате получим
f = (x1 x2 x3 ) (x2 x1 ) =
= (x1 x2 x3)(x1 x2 )( x1 x3)( x1 )( x1 x2 )( x2 x3).
Структурная схема логического устройства может быть построена непосредственно по канонической форме (СДНФ или СКНФ) реализуемой функции.
Недостаток такого метода построения структурных схем, обеспечивающего, в общем, правильное функционирование устройства, состоит в том, что получающиеся схемы, как правило, оказываются неоправданно сложными, требуют использования большого числа логических элементов и, следовательно, имеют низкие экономичность и надежность.
Во многих случаях удается так упростить логическое выражение, не нарушая функции, что соответствующая структурная схема оказывается существенно более простой.
Методы такого упрощения функции, называемые методами минимизации функций.
Минимизация булевых выражений функций возбуждения триггеров и выходной функции проводится с использование законов алгебры логики или других методов минимизации логических выражений (метод Квайна, карт Карно-Вейча).