1.2.5. Исчисление предикатов

Классическим механизмом представления знаний в исследованиях по искусственному интеллекту является исчисление предикатов, которое уже в 50-е годы использовалось в программах ИИ. В системах, основанных на исчислении предикатов, знания представляются с помощью перевода утверждений об объектах некоторой предметной области в формулы логики предикатов и добавления их как аксиом в систему.

Рассмотрим основные положения логики предикатов.

Пусть имеется некоторое множество объектов, называемых предметной областью. Знаки, обозначающие элементы этого множества, называют предметными константами, а знак, обозначающий произвольный элемент этого множества, — предметной переменной.

Выражение Р( , >, ..., ), где , i=l..n — предметные переменные, а Р принимает значения 0 и 1, называется логической функцией или предикатом. Предикат, зависящий от п различных предметных переменных, называется n-местным предикатом.

Если в данном выражении заменить на , где — предметные константы или переменные, то получим элементарную формулу. Элементарные формулы иногда называют атомными. Из элементарных формул с помощью логических связок « » (или), « » (и), « » (отрицание), « » (импликация) строят предикатные формулы (иногда их называют правильно построенными формулами — ППФ). Кроме логических связок в рассмотрение вводят кванторы общности « » и существования « ».

Если Р — предикатная формула, а х — предметная переменная, то выражения хР и хР также считаются предикатными формулами.

Конкретное вхождение переменной х в формулу Р называется связанным, если оно либо непосредственно следует за каким-либо квантором, либо содержится в области действия некоторого квантора « » или « ». Вхождение переменной является свободным, если оно не является связанным. Связанной переменной называется переменная, если в Р имеется связанное вхождение этой переменной. Использование обоих кванторов не является обязательным, так как нетрудно показать справедливость соотношений:

Кванторы « » и « » называют двойственными.

Под интерпретацией предикатных формул понимают конкретизацию предметной области, соответствующей данной предикатной формуле, и установление соответствия между символами, входящими в предикат, и элементами (а также функциями и отношениями), определяемыми в данной предметной области.

Выводом системы представления знаний на предикатах являются формулы, выводимые из аксиом с помощью правил вывода. Для организации логического вывода могут использоваться различные правила, в частности Modus ponens S (А В,А В), Modus tollens (А В, В А), специализация ( хР(х), А Р{А)), двойное отрицание (А ( А)) и др.

Для решения конкретной задачи начальное состояние и доступные операторы действий переводятся в формулы исчисления предикатов и добавляются к множеству аксиом. Целевое состояние также выражается формулой и рассматривается как теорема, которая должна быть выведена из аксиом с помощью активного механизма вывода. Последовательность дедукций определяет «план» того, как достигнуть цели из начального состояния.

Дедукция обычно выполняется добавлением теоремы отрицания к множеству аксиом и с помощью попытки вывести синтаксическое противоречие из этого расширенного множества. Для этого собственные аксиомы и теорема отрицания сколемизируются (т.е. преобразуются в нормальную конъюнктивную форму с необязательными общими кванторами в начале формулы). Затем формируется множество, состоящее из составных частей («предложений») сколемизированной формулы, соединенных связкой « ».

Для перевода ППФ в форму предложений (или клаузальную форму, от английского слова clause — предложение) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Исключение импликации, осуществляемое подстановкой вместо Р(х) Q(x) P(x) Q(x).

2. Уменьшение области действия знаков отрицания « »: область действия « » сводится до отдельной предикатной буквы.

3. Стандартизация переменных, при которой осуществляется переименование переменных с тем, чтобы каждый квантор имел свою переменную.

4. Исключение кванторов существования.

5.Приведение к предваренной нормальной форме, которая состоит из цепочки кванторов, называемой префиксом, и расположенной за ней формулы, называемой матрицей.

6. Приведение к нормальной конъюнктивной форме, в которой матрица представляется в виде конъюнкции конечного множества дизъюнкций предикатов. Осуществляется это заменой А (В С) на (А В) (А С).

7. Исключение кванторов общности.

8. Исключение связок « ».заменой А В двумя ППФ А и В.

После этого может быть применен алгоритм резолюции, предложенный Дж. Робинсоном в 1965 г. Смысл его состоит в том, что предложения множества исследуются попарно на предмет того, содержат ли они дополняющие атомные формулы, т. е. функцию или предикат, появляющийся в обоих предложениях, но в одном из них в форме отрицания. Если такая пара найдена, то в первоначальное множество вводится так называемая резольвента, составленная из дизъюнкции оставшихся (после вычеркивания дополняющих формул) атомных формул обоих предложений. Если два предложения не являются полностью дополняющими, например, из-за того, что в одной из атомных формул есть константа или функция, а в атомной формуле другого предложения есть переменная, то применяется так называемая «унификация».

Она заключается в том, что соответствующей заменой этих переменных в обоих предложениях пытаются превратить эти предложения в дополняющие и, тем самым, сделать резолюцию возможной.

Алгоритм является полным в том смысле, что если формула выводима из множества аксиом, то алгоритм завершится за конечное число шагов. Наоборот, если для некоторой формулы алгоритм не завершился после некоторого числа шагов, то невозможно решить, завершился ли он после следующих шагов или же формула не выводима из данного множества аксиом.

Алгоритм, таким образом, демонстрирует главный недостаток декларативного представления знаний: здесь не содержится информации о том, как использовать специфические знания, т. е. знания о том, как и в какой последовательности, организовать обработку знаний.

Вопрос о направлении резолюции, т. е. какие пары предложений использовать для резолюции, остается, поэтому полностью открытым.

Системы представления знаний на основе исчисления предикатов имеют ряд достоинств: они достаточно хорошо исследованы как формальная система, их синтаксис и интерпретация хорошо определены. Утверждения о некоторой предметной области, могут быть введены или удалены независимо от других в базе знаний.

Основной недостаток систем представления знаний на базе исчисления предикатов состоит в том, что существует большое число фактов, которое тяжело или даже невозможно выразить средствами исчисления предикатов. Поиск путей преодоления этого недостатка ведется в основном в двух направлениях:

1. Расширение и модификация логики предикатов. Значительную важность имеют здесь логики, которые позволяют ограничивать применение предикатов и функций рамками некоторого подмножества предметной области и вследствие этого подчинять аргументы определенным семантическим ограничениям.

Исчисление предикатов второго порядка дает возможность использовать в качестве аргументов кванторов, предикатов и функций не только переменные и константы, но и сами предикаты и функции. Исследования в этой области не дали, однако, пока ощутимых результатов для систем ИИ.

Модальная логика позволяет представлять некоторые модальности, такие, как «необходимость», «возможность» и др. Вероятная логика дает возможность определять вероятности истинности или ложности высказываний. Большие надежды возлагаются на многозначные и нечеткие логики, в которых оценка истинности высказываний может принимать дискретные или непрерывные значения из интервала между «истиной» и «ложью». Эти логики могут быть использованы для представления неточных или неопределенных знаний.

2. Разработка глобальных механизмов представления. Согласно этому направлению исследований системы, основанные на исчислении предикатов и связанные с ним формализмы, применимы лишь для представления «локальных» знаний, т. е. небольших и четко ограниченных областей знаний. Эти знания должны затем быть объединены в глобальную схему, которая реализует связи между этими кластерами знаний.

В настоящее время аппарат исчисления предикатов в чистом виде используются редко, однако он послужил основой большинства языков логического представления знаний, в частности языка Пролог.