Форма записи и расчета среднеквадратического отклонения

xi	xi – Mx	(xi – Mx)2	xi	xi – Mx	(xi – Mx)2
20	–4,54	20,61	26	1,46	2,27
20	–4,54	20,61	27	2,46	6,05
22	–2,54	6,45	28	3,46	11,97
23	–1,54	2,37	30	5,46	29,81
24	–0,54	0,29
25	0,46	0,21	∑ хi = 270	∑ –0,06	∑(xi – Mx)2 100,85
25	0,46	0,21	М = 24,54

Вычисление ошибки сигмы приведено в п. 1.4.

Средний квадрат отклонений, или дисперсия, указывает колебание значений признака внутри выборочной совокупности через отклонение всех вариант от среднего значения, т. е. показывает интервал, в который входят все варианты выборки (100 %). Однако сумма всех отрицательных и положительных отклонений от среднего равна нулю. Поэтому все отклонения от среднего возводятся в квадрат и суммируются: ∑(x_i – M_x)². При усреднении всех отклонений числового ряда путем деления на (N – 1) получаем средний квадрат отклонений, или дисперсию (D, σ²).

Если вычислена сигма (σ), то дисперсию получаем путем возведения ее в квадрат: σ².

При упрощенном способе расчета дисперсии не вычисляют отклонений вариант от среднего (x_i – M_x), используя следующий расчет:

σ²=∑x_i² / N – М ²,

где ∑x_i² – сумма квадратов всех вариант выборки; М ² – квадрат среднего арифметического; N – число вариант в выборке.

Более точно значение дисперсии вычисляется с использованием данных в табл. 1.3 по формуле:

σ²= ∑(x_i – M_x)² / (N – 1) (1.7)

Средний квадрат отклонений выражается в тех же единицах, что и варианты. Форма записи исходных данных для вычисления дисперсии такая же, как и для сигмы (см. табл. 1.3). Подставив значения из таблицы в формулу, получим значение дисперсии: σ² = 100,85 / 10 = 10,08 м.

Исходя из величины дисперсии, можно определить интервал, в пределы которого входят все варианты выборки: М± σ², от 14,5 м (24,5 – 10,0) до 34,5 м (24,5 + 10,0). В этот интервал вошли 100 % вариант выборочной совокупности.

При объединении нескольких аналогичных выборок в общую выборку можно рассчитать общий средний квадрат отклонений, если имеются сведения о дисперсии по каждой выборке в отдельности:

σ²_общ = ∑(N_i – 1) · σ²_i / (∑ N_i – k), (1.8)

где σ²_i – дисперсия индивидуальной выборки; N_i – объем частных выборок; k – число частных выборок.

Пример. Вычислим общий средний квадрат отклонений для четырех выборок, отражающих содержание кальция в озерных водах Беларуси: σ²₁ = 2, N₁ = 8; σ²₂= 2,5; N₂ = 6; σ²₃ = 3,0; N₃ = 7; σ²₄ = 3,5; N₄ = 8. По формуле (1.8) имеем:

σ²_общ = = 2,76.

Если извлечь корень квадратный из полученной величины, получим общее среднеквадратическое отклонение или сигму (σ_общ = 1,66).

Практическое применение дисперсии состоит в следующем:

• для оценки вариабельности рядов распределения;

• для факторного и дисперсионного анализа;

• для статистической оценки двух совокупностей по критерию Фишера.

Дисперсия выражается в тех же единицах, что и показатели выборки.

Коэффициент вариации представляет собой относительный показатель разнообразия признаков, выражается в процентах. Он показывает отношение среднеквадратического отклонения к средней арифметической:

V = (σ / M) · 100. (1.9)

В случаях, когда значение среднеквадратического отклонения не рассчитывается, величина коэффициента вариации может быть определена следующим образом:

V = 100 , (1.10)

где ∑ – сумма квадратов индивидуальных вариант в совокупности.

Чем меньший по размаху варьирования будет признак, тем меньший будет коэффициент вариации для данной совокупности. Соответственно меньшими будут сигма и дисперсия.

Коэффициент вариации позволяет оценить вариабельность (разброс) признака в нормированных границах. Если его значение меньше 10 %, то разброс вариант относительно средней арифметической считается слабым, при 10–30 – средним, 30–60 – высоким, 60–100 – высоким, более 100 % – аномальным.

О преимуществе использования коэффициента вариации при оценке разнородных признаков можно судить по табл. 1.4.

Таблица 1.4